A medida do comprimento de onda para a qual a radiação R(lambda) é máxima indica que a temperatura da superfície da estrela é 3000 K . Se a potência irradiada pela estrela é 100 vezes maior que a potência irradiada pelo Sol, qual é o raio da estrela? Dado: temperatura da superfície do Sol=5800 K ? ]Dica: para um corpo negro R=PA, onde R é a potência irradiada por unidade, P a potência total irradiada e A a área do corpo e suponha que as estrelas são corpos negros.]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma estrela cuja temperatura da superfície é 3000 K e sabe que a potência irradiada por ela é 100 vezes maior que a do Sol. Nosso objetivo é descobrir o raio dessa estrela. Vamos usar conceitos de corpos negros e a relação entre potência, área e temperatura para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um corpo negro, a potência irradiada total P = sigma T^4 A é dada pela fórmula de Stefan-Boltzmann:
Onde:
  • é a constante de Stefan-Boltzmann ( )
  • é a temperatura da superfície
  • é a área da superfície

Passo 3

Como a estrela e o Sol são ambos corpos negros, podemos comparar as potências irradiadas deles. Sabemos que:
PestrelaPSol = 100
E também que:
PestrelaPSol = ( TestrelaTSol )^4 times AestrelaASol

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos:
100 = ( 30005800 )^4 times AestrelaASol
Primeiro, calculamos ( 30005800 )^4 approx (0,5172)^4 approx 0,0715 :

Passo 5

Agora, substituímos esse valor de volta na equação:
100 = 0,0715 times AestrelaASol
Para encontrar a razão das áreas:
AestrelaASol = 1000,0715 approx 1398,6

Passo 6

Sabemos que a área de uma esfera é dada por AestrelaASol = ( RestrelaRSol )^2 = 1398,6 . Então, a razão das áreas é igual à razão dos quadrados dos raios:
RestrelaRSol = raiz1398,6 approx 37,4
Para encontrar a razão dos raios, tiramos a raiz quadrada:

Resposta

O raio da estrela é aproximadamente 37,4 vezes o raio do Sol.

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