Mostre que a partir da lei de Planck podemos obter os limites clássicos: i) Lei de StefanBoltzmannn:
; e ii) lei do deslocamento de Wien:
m.K.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar como, a partir da Lei de Planck, dá pra chegar nos chamados limites clássicos: a Lei de Stefan-Boltzmann e a Lei do Deslocamento de Wien. Isso envolve conceitos de física de radiação térmica e um pouco de cálculo. Vamos precisar entender a Lei de Planck, integração e como essas leis clássicas são derivadas como aproximações em certos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Planck. Ela descreve a distribuição da energia irradiada por um corpo negro em função do comprimento de onda ou da frequência para uma temperatura T. A fórmula da Lei de Planck é:
Aqui,
é a constante de Planck,
é a velocidade da luz,
é o comprimento de onda, e
é a constante de Boltzmann.
Passo 3
Vamos começar derivando a Lei de Stefan-Boltzmann. Essa lei nos dá a relação entre a potência total irradiada por unidade de área e a temperatura do corpo negro. A potência total
é obtida integrando a intensidade da radiação
sobre todos os comprimentos de onda.
Então, temos:
Passo 4
Para resolver essa integral, fazemos uma mudança de variável para simplificar. Vamos definir
, o que implica
e
. Substituindo na integral, temos:
Depois de simplificar os termos, chegamos a uma constante que envolve a integração de
vezes uma função exponencial, que resulta na constante de Stefan-Boltzmann
.
Finalmente, obtemos:
Passo 5
Agora, vamos para a Lei do Deslocamento de Wien. Essa lei relaciona o comprimento de onda no qual a radiação é máxima
com a temperatura
. Para encontrar
, precisamos maximizar
em relação a
.
Tomamos a derivada de
em relação a
, igualamos a zero e resolvemos para
. Ao fazer isso, descobrimos que o produto
é constante.
Após os cálculos, encontramos:
Resposta
i) Lei de Stefan-Boltzmann:
;
ii) Lei do deslocamento de Wien: .
ii) Lei do deslocamento de Wien: