Mostre que a partir da lei de Planck podemos obter os limites clássicos: i) Lei de StefanBoltzmannn: R=sigma T^4; e ii) lei do deslocamento de Wien: lambdamax T=2,898 times 10^-3 m.K.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar como, a partir da Lei de Planck, dá pra chegar nos chamados limites clássicos: a Lei de Stefan-Boltzmann e a Lei do Deslocamento de Wien. Isso envolve conceitos de física de radiação térmica e um pouco de cálculo. Vamos precisar entender a Lei de Planck, integração e como essas leis clássicas são derivadas como aproximações em certos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Planck. Ela descreve a distribuição da energia irradiada por um corpo negro em função do comprimento de onda ou da frequência para uma temperatura T. A fórmula da Lei de Planck é:
B(lambda, T) = 2hc^2lambda^5 cdot 1e^hclambda kB T - 1
Aqui, é a constante de Planck, é a velocidade da luz, é o comprimento de onda, e é a constante de Boltzmann.

Passo 3

Vamos começar derivando a Lei de Stefan-Boltzmann. Essa lei nos dá a relação entre a potência total irradiada por unidade de área e a temperatura do corpo negro. A potência total R = integral0^infty B(lambda, T) , dlambda é obtida integrando a intensidade da radiação sobre todos os comprimentos de onda.
Então, temos:

Passo 4

Para resolver essa integral, fazemos uma mudança de variável para simplificar. Vamos definir R = 2hc^2(hc/kB T)^5 cdot integral0^infty x^4 e^x(e^x - 1)^2 dx , o que implica R = sigma T^4 e . Substituindo na integral, temos:
Depois de simplificar os termos, chegamos a uma constante que envolve a integração de vezes uma função exponencial, que resulta na constante de Stefan-Boltzmann .
Finalmente, obtemos:

Passo 5

Agora, vamos para a Lei do Deslocamento de Wien. Essa lei relaciona o comprimento de onda no qual a radiação é máxima lambdamax T = 2,898 times 10^-3 mK com a temperatura . Para encontrar , precisamos maximizar em relação a .
Tomamos a derivada de em relação a , igualamos a zero e resolvemos para . Ao fazer isso, descobrimos que o produto é constante.
Após os cálculos, encontramos:

Resposta

i) Lei de Stefan-Boltzmann: ;
ii) Lei do deslocamento de Wien: .

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