A medida do lado de um quadrado varia com o tempo. No instante em que o lado mede a taxa de variação da área é de . Qual é a taxa de variação do lado em relação ao tempo neste instante?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um quadrado cujo lado está mudando ao longo do tempo. No momento específico em que o lado desse quadrado mede , a área está aumentando a uma taxa de . Nosso objetivo é descobrir quão rápido o lado do quadrado está aumentando nesse instante, ou seja, encontrar a taxa de variação do lado em relação ao tempo ( ).

Passo 2

Primeiro, precisamos relacionar a área do quadrado ( ) com o comprimento do lado ( ). Sabemos que a área de um quadrado é dada por:
Isso significa que a área depende do quadrado do comprimento do lado.

Passo 3

Agora, queremos encontrar como a área está mudando em relação ao tempo. Para isso, vamos derivar a equação da área em relação ao tempo ( ):
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar .

Passo 4

Nós já sabemos o valor de e no instante considerado:
Vamos substituir esses valores na equação que obtivemos:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para encontrar :

Resposta

A taxa de variação do lado do quadrado em relação ao tempo neste instante é de .

Exercícios relacionados

Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n) .
Estude a continuidade e a diferenciabilidade das funções abaixo no ponto :
(a)
(b) .
Um resultado bastante utilizado é que, para grande o bastante, é muito maior que (o crescimento exponencial é muito mais rápido que o polinomial), e é muito menor que (o crescimento logarítmico é muito mais lento que o de qualquer raiz). Prove isso, garantindo que:
(a)
(b)
Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
(a)
(b)
©
(d)
(e) .
(f) .