A medida do lado de um quadrado varia com o tempo. No instante em que o lado mede 0,5 cm a taxa de variação da área é de 4 cm²/s. Qual é a taxa de variação do lado em relação ao tempo neste instante?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um quadrado cujo lado está mudando ao longo do tempo. No momento específico em que o lado desse quadrado mede , a área está aumentando a uma taxa de . Nosso objetivo é descobrir quão rápido o lado do quadrado está aumentando nesse instante, ou seja, encontrar a taxa de variação do lado em relação ao tempo ( ).

Passo 2

Primeiro, precisamos relacionar a área do quadrado ( ) com o comprimento do lado ( ). Sabemos que a área de um quadrado é dada por:
Isso significa que a área depende do quadrado do comprimento do lado.

Passo 3

Agora, queremos encontrar como a área está mudando em relação ao tempo. Para isso, vamos derivar a equação da área em relação ao tempo ( ):
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar .

Passo 4

Nós já sabemos o valor de e no instante considerado:
Vamos substituir esses valores na equação que obtivemos:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para encontrar :

Resposta

A taxa de variação do lado do quadrado em relação ao tempo neste instante é de .

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