A medida do lado de um quadrado varia com o tempo. No instante em que o lado mede
a taxa de variação da área é de
. Qual é a taxa de variação do lado em relação ao tempo neste instante?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um quadrado cujo lado está mudando ao longo do tempo. No momento específico em que o lado desse quadrado mede
, a área está aumentando a uma taxa de
. Nosso objetivo é descobrir quão rápido o lado do quadrado está aumentando nesse instante, ou seja, encontrar a taxa de variação do lado em relação ao tempo (
).
Passo 2
Primeiro, precisamos relacionar a área do quadrado (
) com o comprimento do lado (
). Sabemos que a área de um quadrado é dada por:
Isso significa que a área depende do quadrado do comprimento do lado.
Passo 3
Agora, queremos encontrar como a área está mudando em relação ao tempo. Para isso, vamos derivar a equação da área em relação ao tempo (
):
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar
.
Passo 4
Nós já sabemos o valor de
e
no instante considerado:
Vamos substituir esses valores na equação que obtivemos:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação para encontrar
:
Resposta
A taxa de variação do lado do quadrado em relação ao tempo neste instante é de
.
Exercícios relacionados
Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
Estude a continuidade e a diferenciabilidade das funções abaixo no ponto
:
(a)
(b) .
(a)
(b)
Um resultado bastante utilizado é que, para
grande o bastante,
é muito maior que
(o crescimento exponencial é muito mais rápido que o polinomial), e
é muito menor que
(o crescimento logarítmico é muito mais lento que o de qualquer raiz). Prove isso, garantindo que:
(a)
(b)
(a)
(b)
Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
(a)
(b)
©
(d)
(e) .
(f) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)