A medida, em radianos, do ângulo entre u e v é pi3. Sabendo que |u|=2 e |v|=1 e que o ângulo entre u+v e u-v mede theta radianos, é correto afirmar que cos theta vale
(A) -3raiz24
(B) -3raiz21
© 3raiz21
(D) 17
(E) 3raiz24

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos dois vetores, u e v, que formam um ângulo de pi3 radianos entre si. As magnitudes desses vetores são |u| = 2 e |v| = 1. Queremos descobrir o valor de cos theta, onde theta é o ângulo entre os vetores u + v e u - v. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de vetores e o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores a e b é dado por:
a cdot b = |a| |b| cos phi
onde phi é o ângulo entre a e b.

Passo 3

Queremos encontrar cos theta, onde theta é o ângulo entre u + v e u - v. Para isso, usamos a fórmula do produto escalar:
(u + v) cdot (u - v) = |u + v| |u - v| cos theta

Passo 4

Calculando o produto escalar do lado esquerdo:
(u + v) cdot (u - v) = u cdot u - u cdot v + v cdot u - v cdot v
Sabemos que u cdot v = v cdot u e que u cdot u = |u|^2 e v cdot v = |v|^2. Então:
u cdot u - v cdot v = |u|^2 - |v|^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3

Passo 5

Agora, vamos calcular |u + v| e |u - v|. A magnitude de um vetor resultante é dada por:
|a + b| = raiz|a|^2 + |b|^2 + 2 a cdot b
e
|a - b| = raiz|a|^2 + |b|^2 - 2 a cdot b

Passo 6

Primeiro, calculamos u cdot v:
u cdot v = |u| |v| cos ( pi3 ) = 2 times 1 times 12 = 1

Passo 7

Agora, calculamos |u + v|:
|u + v| = raiz2^2 + 1^2 + 2 times 1 = raiz4 + 1 + 2 = raiz7
E |u - v|:
|u - v| = raiz2^2 + 1^2 - 2 times 1 = raiz4 + 1 - 2 = raiz3

Passo 8

Agora, voltando à equação do passo 3:
(u + v) cdot (u - v) = |u + v| |u - v| cos theta
Substituindo os valores que encontramos:
3 = raiz7 times raiz3 times cos theta
3 = raiz21 cos theta

Passo 9

Isolando cos theta:
cos theta = 3raiz21 = 3raiz21 times raiz21raiz21 = 3 raiz2121 = raiz217
Mas simplificando, mantemos 3raiz21.

Resposta

cos theta vale 3raiz21, ou seja, a alternativa ©.

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