Sejam e .
(a) O sistema tem solução única?
(b) Pode-se mostrar que satisfaz a equação matricial . Exiba como uma combinação linear das colunas de A.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares representado pela matriz e o vetor . Nosso objetivo é:
a) Descobrir se esse sistema tem uma solução única.
b) Mostrar que o vetor satisfaz essa equação e expressar como uma combinação linear das colunas de .
Para isso, vamos precisar entender conceitos de matrizes, sistemas lineares, determinantes e combinação linear. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte (a). Queremos saber se o sistema tem uma solução única. Isso depende de algumas coisas:
O número de equações e incógnitas.
Se a matriz é invertível, ou seja, se ela tem determinante diferente de zero.
No nosso caso, a matriz é 3x4, ou seja, tem 3 linhas (equações) e 4 colunas (variáveis). Geralmente, para ter uma solução única, a matriz precisa ser quadrada (mesmo número de linhas e colunas) e ter determinante diferente de zero. Como não é quadrada, já desconfia que não vai ter solução única.
Passo 3
Vamos detalhar isso mais. A matriz é 3x4, o que significa que temos mais variáveis do que equações. Isso geralmente leva a:
Nenhuma solução (sistema inconsistente), ou
Infinitas soluções (sistema dependente).
Para ter uma solução única, precisaríamos que fosse invertível, o que no caso de matrizes não quadradas não é possível. Portanto, concluímos que o sistema não tem solução única.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b). Sabemos que o vetor satisfaz a equação , ou seja, se substituirmos por , a equação vale.
Isso significa que podemos escrever como uma combinação linear das colunas de . Em outras palavras, é igual a vezes a primeira coluna de mais vezes a segunda coluna de , e assim por diante.
Passo 5
Vamos fazer isso passo a passo. As colunas de são:
E o vetor é:
Então, podemos expressar como:
Passo 6
Vamos calcular essa combinação linear:
Resposta
a) Não, o sistema não tem solução única.
b) O vetor pode ser escrito como uma combinação linear das colunas de da seguinte forma: