Sejam A=[cccc1 & 5 & -2 & 0 -3 & 1 & 9 & -5 4 & -8 & -1 & 7], b=[c-7 9 0] e p=[c3 -2 0 -4].
(a) O sistema A x=b tem solução única?
(b) Pode-se mostrar que p satisfaz a equação matricial A x=b. Exiba b como uma combinação linear das colunas de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares representado pela matriz e o vetor . Nosso objetivo é:
a) Descobrir se esse sistema tem uma solução única.
b) Mostrar que o vetor satisfaz essa equação e expressar como uma combinação linear das colunas de .
Para isso, vamos precisar entender conceitos de matrizes, sistemas lineares, determinantes e combinação linear. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte (a). Queremos saber se o sistema tem uma solução única. Isso depende de algumas coisas:
  • O número de equações e incógnitas.
  • Se a matriz é invertível, ou seja, se ela tem determinante diferente de zero.
No nosso caso, a matriz é 3x4, ou seja, tem 3 linhas (equações) e 4 colunas (variáveis). Geralmente, para ter uma solução única, a matriz precisa ser quadrada (mesmo número de linhas e colunas) e ter determinante diferente de zero. Como não é quadrada, já desconfia que não vai ter solução única.

Passo 3

Vamos detalhar isso mais. A matriz é 3x4, o que significa que temos mais variáveis do que equações. Isso geralmente leva a:
  • Nenhuma solução (sistema inconsistente), ou
  • Infinitas soluções (sistema dependente).
Para ter uma solução única, precisaríamos que fosse invertível, o que no caso de matrizes não quadradas não é possível. Portanto, concluímos que o sistema não tem solução única.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b). Sabemos que o vetor satisfaz a equação , ou seja, se substituirmos por , a equação vale.
Isso significa que podemos escrever como uma combinação linear das colunas de . Em outras palavras, é igual a vezes a primeira coluna de mais vezes a segunda coluna de , e assim por diante.

Passo 5

Vamos fazer isso passo a passo. As colunas de a1 = 1 -3 4, a2 = 5 1 -8, a3 = -2 9 -1, a4 = 0 -5 7 são:
p = 3 -2 0 -4
E o vetor b = 3a1 + (-2)a2 + 0a3 + (-4)a4 é:
Então, podemos expressar como:

Passo 6

Vamos calcular essa combinação linear:
b &= 31 -3 4 + (-2)5 1 -8 + 0-2 9 -1 + (-4)0 -5 7 &= 3 -9 12 + -10 -2 16 + 0 0 0 + 0 20 -28 &= 3 -10 + 0 + 0 -9 -2 + 0 + 20 12 +16 + 0 -28 &= -7 9 0 &= b

Resposta

a) Não, o sistema b = 3a1 - 2a2 - 4a4 não tem solução única.
b) O vetor pode ser escrito como uma combinação linear das colunas de da seguinte forma:

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