Sejam e .
(a) O sistema tem solução única?
(b) Pode-se mostrar que satisfaz a equação matricial . Exiba como uma combinação linear das colunas de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares representado pela matriz e o vetor . Nosso objetivo é:
a) Descobrir se esse sistema tem uma solução única.
b) Mostrar que o vetor satisfaz essa equação e expressar como uma combinação linear das colunas de .
Para isso, vamos precisar entender conceitos de matrizes, sistemas lineares, determinantes e combinação linear. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte (a). Queremos saber se o sistema tem uma solução única. Isso depende de algumas coisas:
  • O número de equações e incógnitas.
  • Se a matriz é invertível, ou seja, se ela tem determinante diferente de zero.
No nosso caso, a matriz é 3x4, ou seja, tem 3 linhas (equações) e 4 colunas (variáveis). Geralmente, para ter uma solução única, a matriz precisa ser quadrada (mesmo número de linhas e colunas) e ter determinante diferente de zero. Como não é quadrada, já desconfia que não vai ter solução única.

Passo 3

Vamos detalhar isso mais. A matriz é 3x4, o que significa que temos mais variáveis do que equações. Isso geralmente leva a:
  • Nenhuma solução (sistema inconsistente), ou
  • Infinitas soluções (sistema dependente).
Para ter uma solução única, precisaríamos que fosse invertível, o que no caso de matrizes não quadradas não é possível. Portanto, concluímos que o sistema não tem solução única.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b). Sabemos que o vetor satisfaz a equação , ou seja, se substituirmos por , a equação vale.
Isso significa que podemos escrever como uma combinação linear das colunas de . Em outras palavras, é igual a vezes a primeira coluna de mais vezes a segunda coluna de , e assim por diante.

Passo 5

Vamos fazer isso passo a passo. As colunas de são:
E o vetor é:
Então, podemos expressar como:

Passo 6

Vamos calcular essa combinação linear:

Resposta

a) Não, o sistema não tem solução única.
b) O vetor pode ser escrito como uma combinação linear das colunas de da seguinte forma:

Exercícios relacionados

Ex. 6. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
(o) ;
Ex. 6. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
(i) ;
Seja .
Determine as bases e dimensões para:
a) espaço coluna de ;
b) espaço linha de ;
c) núcleo de .
A medida, em radianos, do ângulo entre e é . Sabendo que e e que o ângulo entre e mede radianos, é correto afirmar que vale
(A)
(B)
©
(D)
(E)