Seja .
Determine as bases e dimensões para:
a) espaço coluna de ;
b) espaço linha de ;
c) núcleo de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma matriz e precisa encontrar as bases e dimensões para o espaço coluna, espaço linha e núcleo de . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente envolvendo conceitos de espaço vetorial, bases, dimensão e sistemas lineares. Para resolver isso, vamos usar a redução de matrizes (como a eliminação de Gauss) para simplificar e descobrir informações importantes sobre ela.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz :
Nosso objetivo é reduzir essa matriz para uma forma mais simples, chamada de forma escalonada, onde podemos identificar facilmente os vetores que formam as bases dos espaços coluna e linha.

Passo 3

Vamos começar realizando operações elementares nas linhas para simplificar a matriz. A ideia é ter zeros abaixo dos pivôs (os primeiros elementos não nulos de cada linha).
Começamos com a primeira coluna. O primeiro elemento já é 1, ótimo! Agora, queremos zerar os elementos abaixo dele na primeira coluna.
  • Subtraia 2 vezes a primeira linha da terceira linha:

Passo 4

Agora, vamos simplificar as outras linhas. Observe que as linhas 3 e 4 são semelhantes. Para facilitar, vamos subtrair a terceira linha da quarta linha:

Passo 5

Continuando, queremos simplificar mais. Vamos trabalhar na segunda coluna agora. Já temos um 1 na segunda posição da segunda linha, então usamos isso para zerar os elementos acima e abaixo.
  • Subtraia 2 vezes a segunda linha da terceira linha:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a quarta linha para tornar o pivô positivo. Multiplicamos a quarta linha por -1:

Passo 7

Agora, nossa matriz está na forma escalonada. Podemos identificar os pivôs (os primeiros números não nulos de cada linha):
  • Primeira linha: pivô na coluna 1
  • Segunda linha: pivô na coluna 2
  • Terceira linha: pivô na coluna 5
  • Quarta linha: pivô na coluna 4
Isso nos ajuda a determinar as bases dos espaços coluna e linha, além da dimensão de cada um.

Passo 8

a) Espaço Coluna de :
As colunas correspondentes aos pivôs formam uma base para o espaço coluna. Então, as colunas 1, 2, 4 e 5 de são a base.
Base do espaço coluna:
A dimensão do espaço coluna é o número de vetores na base, que é 4.
b) Espaço Linha de :
As linhas não nulas da forma escalonada são uma base para o espaço linha.
Base do espaço linha:
A dimensão do espaço linha também é 4.
c) Núcleo de :
Para encontrar o núcleo, precisamos resolver . Isso significa encontrar todas as soluções do sistema linear.
Observando a forma escalonada, podemos ver que há 4 pivôs em 5 colunas, então haverá variável livre.
Vamos chamar , onde é um parâmetro real.
Resolvendo as equações:
Substituindo de volta:
  • Da equação 2:
  • Da equação 1:
Então, expressamos em termos de :
A base do núcleo é o vetor que multiplica :
A dimensão do núcleo é 1.

Resposta

a) Espaço Coluna de :
  • Base:
  • Dimensão: 4
b) Espaço Linha de :
  • Base:
  • Dimensão: 4
c) Núcleo de :
  • Base:
  • Dimensão: 1

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Sejam e .
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(o) ;
A medida, em radianos, do ângulo entre e é . Sabendo que e e que o ângulo entre e mede radianos, é correto afirmar que vale
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Três forças estão aplicadas num ponto e têm direções perpendiculares entre si. Calcule a intensidade da força resultante, sabendo que .