Seja .
Determine as bases e dimensões para:
a) espaço coluna de ;
b) espaço linha de ;
c) núcleo de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma matriz e precisa encontrar as bases e dimensões para o espaço coluna, espaço linha e núcleo de . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente envolvendo conceitos de espaço vetorial, bases, dimensão e sistemas lineares. Para resolver isso, vamos usar a redução de matrizes (como a eliminação de Gauss) para simplificar e descobrir informações importantes sobre ela.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz :
Nosso objetivo é reduzir essa matriz para uma forma mais simples, chamada de forma escalonada, onde podemos identificar facilmente os vetores que formam as bases dos espaços coluna e linha.
Passo 3
Vamos começar realizando operações elementares nas linhas para simplificar a matriz. A ideia é ter zeros abaixo dos pivôs (os primeiros elementos não nulos de cada linha).
Começamos com a primeira coluna. O primeiro elemento já é 1, ótimo! Agora, queremos zerar os elementos abaixo dele na primeira coluna.
Subtraia 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Passo 4
Agora, vamos simplificar as outras linhas. Observe que as linhas 3 e 4 são semelhantes. Para facilitar, vamos subtrair a terceira linha da quarta linha:
Passo 5
Continuando, queremos simplificar mais. Vamos trabalhar na segunda coluna agora. Já temos um 1 na segunda posição da segunda linha, então usamos isso para zerar os elementos acima e abaixo.
Subtraia 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a quarta linha para tornar o pivô positivo. Multiplicamos a quarta linha por -1:
Passo 7
Agora, nossa matriz está na forma escalonada. Podemos identificar os pivôs (os primeiros números não nulos de cada linha):
Primeira linha: pivô na coluna 1
Segunda linha: pivô na coluna 2
Terceira linha: pivô na coluna 5
Quarta linha: pivô na coluna 4
Isso nos ajuda a determinar as bases dos espaços coluna e linha, além da dimensão de cada um.
Passo 8
a) Espaço Coluna de :
As colunas correspondentes aos pivôs formam uma base para o espaço coluna. Então, as colunas 1, 2, 4 e 5 de são a base.
Base do espaço coluna:
A dimensão do espaço coluna é o número de vetores na base, que é 4.
b) Espaço Linha de :
As linhas não nulas da forma escalonada são uma base para o espaço linha.
Base do espaço linha:
A dimensão do espaço linha também é 4.
c) Núcleo de :
Para encontrar o núcleo, precisamos resolver . Isso significa encontrar todas as soluções do sistema linear.
Observando a forma escalonada, podemos ver que há 4 pivôs em 5 colunas, então haverá variável livre.