Medidas mostraram que a velocidade de uma partícula, no S.I., em movimento retilíneo, é dada por
e t constantes. Qual a unidade destas constantes? Encontre as funções
e
sabendo que a partícula estava inicialmente na origem.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula que se move em linha reta, e a velocidade dela está dada pela fórmula
, onde
e
são constantes. Precisamos descobrir as unidades dessas constantes e encontrar as funções de aceleração em termos de velocidade
e de velocidade em termos de posição
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados a movimento retilíneo e cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir as unidades das constantes
e
.
Sabemos que a velocidade
está em metros por segundo (m/s) no Sistema Internacional (S.I.). A equação dada é:
Aqui,
é uma exponencial, e para que a expressão dentro do exponencial seja válida, deve ser adimensional (sem unidades). Isso significa que o produto
deve ser sem unidade.
Como
é o tempo e sua unidade é segundos (s), para que
seja sem unidade,
deve ter unidades de
ou
.
Portanto:
- A unidade de
é m/s. - A unidade de
é s⁻¹.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função
, que é a aceleração em termos da velocidade.
Sabemos que aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Vamos derivar
em relação ao tempo
:
Substituindo
na equação acima:
Então, a função da aceleração em termos da velocidade é:
Passo 4
Por fim, vamos encontrar a função
, que relaciona a velocidade com a posição, sabendo que a partícula parte da origem (posição inicial
).
Sabemos que
. Vamos usar a relação entre aceleração e posição:
Substituindo
:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Usando a condição inicial
,
:
Portanto, a função
é:
Resposta
As unidades das constantes são
em metros por segundo (m/s) e
em segundos inversos (s⁻¹). As funções solicitadas são:
e
Exercícios relacionados
Uma pedra é lançada verticamente para cima, a partir de uma altura de
do chão, com velocidade de
. (a) Qual a altura máxima?
(a) A velocidade de uma partícula é dada por
, em centímetros por segundo
. Neste caso, quais as tinidades das constantes
e
?
(b) Calcule a velocidade instantanea
em .
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FORMULÅRIO
em
<br>
FORMULÅRIO
Considere a figura abaixo. (a) Calcule a velocidade média no intervalo
.
<br>
FORMULÅRIO
<br>
FORMULÅRIO