Medidas mostraram que a velocidade de uma partícula, no S.I., em movimento retilíneo, é dada por v=vo e^-lambda t com vo e t constantes. Qual a unidade destas constantes? Encontre as funções a(v) e v(x) sabendo que a partícula estava inicialmente na origem.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula que se move em linha reta, e a velocidade dela está dada pela fórmula , onde e são constantes. Precisamos descobrir as unidades dessas constantes e encontrar as funções de aceleração em termos de velocidade e de velocidade em termos de posição . Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados a movimento retilíneo e cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir as unidades das constantes v = vo e^-lambda t e .
Sabemos que a velocidade está em metros por segundo (m/s) no Sistema Internacional (S.I.). A equação dada é:
Aqui, é uma exponencial, e para que a expressão dentro do exponencial seja válida, deve ser adimensional (sem unidades). Isso significa que o produto deve ser sem unidade.
Como é o tempo e sua unidade é segundos (s), para que seja sem unidade, deve ter unidades de ou .
Portanto:
  • A unidade de é m/s.
  • A unidade de é s⁻¹.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função a = dvdt , que é a aceleração em termos da velocidade.
Sabemos que aceleração dvdt = -lambda vo e^-lambda t é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a = -lambda v
Vamos derivar a(v) = -lambda v em relação ao tempo :
Substituindo na equação acima:
Então, a função da aceleração em termos da velocidade é:

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a função a = v dvdx , que relaciona a velocidade com a posição, sabendo que a partícula parte da origem (posição inicial -lambda v = v dvdx ).
Sabemos que -lambda = dvdx . Vamos usar a relação entre aceleração e posição:
integral dv = -lambda integral dx
Substituindo v = -lambda x + C :
vo = -lambda cdot 0 + C Rightarrow C = vo
Dividindo ambos os lados por v(x) = vo - lambda x (assumindo ):
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Usando a condição inicial , :
Portanto, a função é:

Resposta

As unidades das constantes são a(v) = -lambda v em metros por segundo (m/s) e v(x) = vo - lambda x em segundos inversos (s⁻¹). As funções solicitadas são:
e

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