Medidas mostraram que a velocidade de uma partícula, no S.I., em movimento retilíneo, é dada por e t constantes. Qual a unidade destas constantes? Encontre as funções e sabendo que a partícula estava inicialmente na origem.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula que se move em linha reta, e a velocidade dela está dada pela fórmula , onde e são constantes. Precisamos descobrir as unidades dessas constantes e encontrar as funções de aceleração em termos de velocidade e de velocidade em termos de posição . Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados a movimento retilíneo e cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir as unidades das constantes e .
Sabemos que a velocidade está em metros por segundo (m/s) no Sistema Internacional (S.I.). A equação dada é:
Aqui, é uma exponencial, e para que a expressão dentro do exponencial seja válida, deve ser adimensional (sem unidades). Isso significa que o produto deve ser sem unidade.
Como é o tempo e sua unidade é segundos (s), para que seja sem unidade, deve ter unidades de ou .
Portanto:
  • A unidade de é m/s.
  • A unidade de é s⁻¹.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função , que é a aceleração em termos da velocidade.
Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Vamos derivar em relação ao tempo :
Substituindo na equação acima:
Então, a função da aceleração em termos da velocidade é:

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a função , que relaciona a velocidade com a posição, sabendo que a partícula parte da origem (posição inicial ).
Sabemos que . Vamos usar a relação entre aceleração e posição:
Substituindo :
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Usando a condição inicial , :
Portanto, a função é:

Resposta

As unidades das constantes são em metros por segundo (m/s) e em segundos inversos (s⁻¹). As funções solicitadas são:
e

Exercícios relacionados

Uma pedra é lançada verticamente para cima, a partir de uma altura de do chão, com velocidade de . (a) Qual a altura máxima?
(a) A velocidade de uma partícula é dada por , em centímetros por segundo . Neste caso, quais as tinidades das constantes e ?
(b) Calcule a velocidade instantanea
em .
<br>
FORMULÅRIO
Considere a figura abaixo. (a) Calcule a velocidade média no intervalo .
<br>
FORMULÅRIO