Um medidor de Venturi com um diâmetro de garganta de 3 cm é usado em um cano de água com diâmetro de 6 cm . Se a diferença de pressão entre o cano principal e a garganta é de 5 kPa , calcule a vazão volumétrica de água através do cano. Considere o fluxo ideal e incompressível.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos um medidor de Venturi, que é usado para medir a vazão de um fluido em um cano. Aqui, o cano principal tem um diâmetro de 6 cm e a garganta do Venturi tem um diâmetro de 3 cm. A diferença de pressão entre o cano principal e a garganta é de 5 kPa. Nosso objetivo é calcular a vazão volumétrica de água que passa pelo cano, assumindo que o fluxo é ideal e incompressível. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de Bernoulli e a equação de continuidade.

Passo 2

Vamos começar aplicando a equação de continuidade, que nos diz que a vazão é constante ao longo do fluxo. Isso significa que a área multiplicada pela velocidade do fluido é a mesma em ambos os pontos. Matematicamente, isso fica assim:
A1 cdot v1 = A2 cdot v2
Onde é a área e é a velocidade do fluido nos pontos 1 (cano principal) e 2 (garganta).

Passo 3

Calculando as áreas dos dois pontos. A área de um círculo é dada por A1 = pi cdot (0,062)^2 = pi cdot (0,03)^2 approx 0,002826 , m^2 , onde A2 = pi cdot (0,032)^2 = pi cdot (0,015)^2 approx 0,0007069 , m^2 é o diâmetro.
Para o cano principal ( cm = 0,06 m):
Para a garganta ( cm = 0,03 m):

Passo 4

Agora, usamos a equação de Bernoulli, que relaciona as pressões e velocidades nos dois pontos:
P1 + 12 rho v1^2 = P2 + 12 rho v2^2
Sabemos que kPa = 5000 Pa, e queremos encontrar , que é a vazão volumétrica ( ).

Passo 5

Substituímos v2 = A1A2 v1 da equação de continuidade na equação de Bernoulli. Da equação de continuidade:
5000 = 12 rho ( (A1A2)^2 v1^2 - v1^2 )
Substituindo na equação de Bernoulli:

Passo 6

Assumindo que a densidade da água 5000 = 12 cdot 1000 cdot ( (0,0028260,0007069)^2 v1^2 - v1^2 ) é aproximadamente 1000 kg/m³, podemos isolar A1A2 approx 4 :
5000 = 500 cdot (16 v1^2 - v1^2) = 500 cdot 15 v1^2
Calculando a razão das áreas:
5000 = 7500 v1^2
Então:
v1^2 = 50007500 approx 0,6667
v1 approx raiz0,6667 approx 0,8165 , m/s

Passo 7

Agora, usando a equação de continuidade para encontrar a vazão Q = A1 v1 approx 0,002826 , m^2 times 0,8165 , m/s approx 0,002306 , m^3/s :
Q approx 2,306 , litros/s
Convertendo para litros por segundo ( ):

Resposta

A vazão volumétrica de água através do cano é aproximadamente 2,31 litros por segundo.

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