Quanta energia é necessária para levantar uma nave de massa 1000 kg da superfície da Terra até a altura de 125.000 metros acima da superfície? Por que não usar a expressão mais simples De ? Quão significativo seria o erro?
Dados: m Terra =5.96 times 10^24 kg, R Terra =6.37 times 10^6 m

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física onde precisa descobrir quanta energia é necessária pra levantar uma nave de 1000 kg da superfície da Terra até 125.000 metros de altura. A matéria que vamos usar aqui é a de energia potencial gravitacional. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas certas para calcular essa energia e entender por que a fórmula mais simples, De, não é a ideal nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a fórmula completa da energia potencial gravitacional quando a altura é comparável ao raio da Terra. A fórmula é:
De
Onde:
  • G é a constante gravitacional, 6,674 times 10^-11 , Ncdotm^2/kg^2
  • M é a massa da Terra, 5,96 times 10^24 , kg
  • m é a massa da nave, 1000 , kg
  • R é o raio da Terra, 6,37 times 10^6 , m
  • h é a altura, 125.000 , m

Passo 3

Agora vamos calcular a energia usando essa fórmula. Primeiro, vamos calcular a parte dentro dos parênteses:
1 - RR + h = 1 - 6,37 times 10^66,37 times 10^6 + 1,25 times 10^5 approx 1 - 6,37 times 10^66,495 times 10^6 approx 1 - 0,9809 = 0,0191
Agora, substituindo na fórmula:
De
Vamos calcular passo a passo:
  1. G times M = 6,674 times 10^-11 times 5,96 times 10^24 approx 3,984 times 10^14
  2. G times M times m = 3,984 times 10^14 times 1000 = 3,984 times 10^17
  3. Dividindo por R: 3,984 times 10^17 / 6,37 times 10^6 approx 6,253 times 10^10
  4. Multiplicando pelo fator de correção: 6,253 times 10^10 times 0,0191 approx 1,194 times 10^9 , J
Então, a energia necessária pela fórmula completa é aproximadamente 1,194 times 10^9 , J.

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula mais simples De para calcular a mesma energia e ver a diferença. Aqui, g é a aceleração da gravidade na superfície da Terra, que é aproximadamente 9,81 , m/s^2, e y é a altura, 125.000 , m.
De
Comparando os dois resultados:
  • Fórmula completa: 1,194 times 10^9 , J
  • Fórmula simples: 1,22625 times 10^9 , J
A diferença entre elas é pequena, mas isso ocorre porque a altura de 125 km é muito pequena em comparação com o raio da Terra ( 6,37 times 10^6 , m). Por isso, a aproximação De funciona quase que perfeitamente nesse caso.

Resposta

A energia necessária para levantar a nave é aproximadamente 1,194 times 10^9 , J. A expressão simples De não foi usada porque, apesar de a diferença ser pouco significativa nesse caso, a fórmula completa é mais precisa quando a altura não é desprezível comparada ao raio da Terra.

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