Quanta energia é necessária para levantar uma nave de massa 1000 kg da superfície da Terra até a altura de 125.000 metros acima da superfície? Por que não usar a expressão mais simples
? Quão significativo seria o erro?
Dados:
Dados:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física onde precisa descobrir quanta energia é necessária pra levantar uma nave de 1000 kg da superfície da Terra até 125.000 metros de altura. A matéria que vamos usar aqui é a de energia potencial gravitacional. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas certas para calcular essa energia e entender por que a fórmula mais simples,
, não é a ideal nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a fórmula completa da energia potencial gravitacional quando a altura é comparável ao raio da Terra. A fórmula é:
Onde:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa da Terra, -
é a massa da nave, -
é o raio da Terra, -
é a altura,
Passo 3
Agora vamos calcular a energia usando essa fórmula. Primeiro, vamos calcular a parte dentro dos parênteses:
Agora, substituindo na fórmula:
Vamos calcular passo a passo:
-
-
- Dividindo por
: - Multiplicando pelo fator de correção:
Então, a energia necessária pela fórmula completa é aproximadamente
.
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula mais simples
para calcular a mesma energia e ver a diferença. Aqui,
é a aceleração da gravidade na superfície da Terra, que é aproximadamente
, e
é a altura,
.
Comparando os dois resultados:
- Fórmula completa:
- Fórmula simples:
A diferença entre elas é pequena, mas isso ocorre porque a altura de 125 km é muito pequena em comparação com o raio da Terra (
). Por isso, a aproximação
funciona quase que perfeitamente nesse caso.
Resposta
A energia necessária para levantar a nave é aproximadamente
. A expressão simples
não foi usada porque, apesar de a diferença ser pouco significativa nesse caso, a fórmula completa é mais precisa quando a altura não é desprezível comparada ao raio da Terra.