O modelo de Bohr do átomo de hidrogênio estabelece que o unico elétron pode existir apenas em determinadas órbitas permitidas ao redor do próton. O raio de cada órbita de Bohr é dada por , onde . Calcule a energia potencial de um átomo de hidrogênio quando o elétron está (a) na primeira órbita permitida, com ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o modelo de Bohr do átomo de hidrogênio! A questão nos pede para calcular a energia potencial do átomo quando o elétron está na primeira órbita permitida, ou seja, quando . Para isso, vamos usar a fórmula do raio das órbitas de Bohr e entender como calcular a energia potencial a partir daí.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que no modelo de Bohr, o elétron só pode ocupar órbitas específicas ao redor do próton, e o raio dessas órbitas é dado pela fórmula:
Onde é o número da órbita (1, 2, 3, …).

Passo 3

Como queremos a energia potencial quando , vamos calcular o raio dessa primeira órbita:
Convertendo nanômetros para metros para facilitar os cálculos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia potencial do elétron nessa órbita. A energia potencial eletrostática entre o próton e o elétron é dada por:
Onde:
  • é a carga do elétron ( )
  • é a permissividade do vácuo ( )
  • é o raio da órbita em metros

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 6

Primeiro, calculamos o numerador:

Passo 7

Agora, calculamos o denominador:

Passo 8

Dividindo o numerador pelo denominador:

Passo 9

Para facilitar a interpretação, vamos converter a energia para elétron-volts (eV). Sabemos que:
Então:

Resposta

A energia potencial do átomo de hidrogênio quando o elétron está na primeira órbita ( ) é aproximadamente .

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Dados: