O modelo de Bohr do átomo de hidrogênio estabelece que o unico elétron pode existir apenas em determinadas órbitas permitidas ao redor do próton. O raio de cada órbita de Bohr é dada por r=0,052 n^2 nm, onde n=1,2, ldots. Calcule a energia potencial de um átomo de hidrogênio quando o elétron está (a) na primeira órbita permitida, com n=1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o modelo de Bohr do átomo de hidrogênio! A questão nos pede para calcular a energia potencial do átomo quando o elétron está na primeira órbita permitida, ou seja, quando . Para isso, vamos usar a fórmula do raio das órbitas de Bohr e entender como calcular a energia potencial a partir daí.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que no modelo de Bohr, o elétron só pode ocupar órbitas específicas ao redor do próton, e o raio dessas órbitas é dado pela fórmula:
r = 0,052 , n^2 , nm
Onde é o número da órbita (1, 2, 3, …).

Passo 3

Como queremos a energia potencial quando r = 0,052 times 1^2 = 0,052 , nm , vamos calcular o raio dessa primeira órbita:
0,052 , nm = 0,052 times 10^-9 , m = 5,2 times 10^-11 , m
Convertendo nanômetros para metros para facilitar os cálculos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia potencial U = - e^24 pi varepsilon0 r do elétron nessa órbita. A energia potencial eletrostática entre o próton e o elétron é dada por:
Onde:
  • é a carga do elétron ( )
  • é a permissividade do vácuo ( )
  • é o raio da órbita em metros

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
U = - (1,602 times 10^-19)^24 pi times 8,854 times 10^-12 times 5,2 times 10^-11
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 6

Primeiro, calculamos o numerador:
(1,602 times 10^-19)^2 = 2,566 times 10^-38 , C^2

Passo 7

Agora, calculamos o denominador:
4 pi times 8,854 times 10^-12 times 5,2 times 10^-11 approx 5,828 times 10^-21 , N cdot m^2

Passo 8

Dividindo o numerador pelo denominador:
U = - 2,566 times 10^-385,828 times 10^-21 approx -4,4 times 10^-18 , J

Passo 9

Para facilitar a interpretação, vamos converter a energia para elétron-volts (eV). Sabemos que:
1 , eV = 1,602 times 10^-19 , J
Então:
U = -4,4 times 10^-18 , J1,602 times 10^-19 , J/eV approx -27,2 , eV

Resposta

A energia potencial do átomo de hidrogênio quando o elétron está na primeira órbita ( ) é aproximadamente .

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