O medidor de Venturi ao lado possui um diâmetro igual a
no ponto A . No ponto B o diâmetro é igual a
. Um tubo em U (por onde a gasolina de densidade
que escoa na tubulação pode entrar), esta ligando a parte mais larga à parte mais estreita. No tubo em
, medese a diferença de altura
no mercúrio de densidade
.
Calcule a velocidade no ponto
para uma diferença de altura de
no mercúrio.
Calcule a velocidade no ponto
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um medidor de Venturi, que é basicamente um tubo que estreita para medir a velocidade de um fluido que passa por ele. Nesse caso, a gasolina está circulando pelo tubo. No ponto A, o diâmetro do tubo é de 4,0 cm, e no ponto B, ele diminui para 2,0 cm. Além disso, há um tubo em U que mede a diferença de altura de um líquido (mercúrio) quando a gasolina flui pelo Venturi. A densidade da gasolina é
e a do mercúrio é
. A diferença de altura medida é de
. Nosso objetivo é calcular a velocidade da gasolina no ponto A.
Para resolver isso, vamos precisar usar a continuidade dos fluidos e a equação de Bernoulli. A continuidade nos ajuda a relacionar as velocidades nos dois pontos do tubo, enquanto Bernoulli relaciona a velocidade do fluido com a diferença de pressão, que é medida pelo tubo em U.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a equação de continuidade para relacionar as velocidades nos pontos A e B. A continuidade diz que, numa tubulação fechada, o fluxo de massa deve ser constante. Isso significa que o produto da área pela velocidade deve ser o mesmo nos dois pontos.
A área de um círculo é dada por:
onde
é o diâmetro.
Vamos calcular as áreas nos pontos A e B.
Passo 3
Calculando as áreas:
Para o ponto A (
):
Para o ponto B (
):
Passo 4
Agora, pela equação de continuidade, temos:
Onde
é a velocidade no ponto A que queremos encontrar, e
é a velocidade no ponto B.
Mas ainda não conhecemos
. Para isso, vamos usar a equação de Bernoulli, que relaciona as velocidades e pressões nos dois pontos.
Passo 5
A equação de Bernoulli é:
Onde:
-
e são as pressões nos pontos A e B. -
é a densidade da gasolina. -
e são as velocidades nos pontos A e B.
A diferença de pressão (
) é causada pela coluna de mercúrio no tubo em U, que está relacionada pela diferença de altura
.
Passo 6
A diferença de pressão causada pelo tubo em U é dada por:
Onde:
-
é a densidade do mercúrio. -
é a aceleração da gravidade. -
(convertendo 10 cm para metros).
Passo 7
Substituindo na equação de Bernoulli:
Podemos rearranjar para:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por
:
Isso nos dá uma relação entre
e
.
Passo 9
Agora, lembrando da equação de continuidade:
Vamos substituir isso na equação anterior:
Passo 10
Isolando
:
Agora, basta substituir os valores que já calculamos.
Passo 11
Substituindo os valores:
Calculando
:
Passo 12
Agora, substituindo na equação de
:
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então:
Passo 13
Finalmente, tirando a raiz quadrada para encontrar
:
Resposta
A velocidade da gasolina no ponto A é aproximadamente
.
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