O medidor de Venturi ao lado possui um diâmetro igual a no ponto A . No ponto B o diâmetro é igual a . Um tubo em U (por onde a gasolina de densidade que escoa na tubulação pode entrar), esta ligando a parte mais larga à parte mais estreita. No tubo em , medese a diferença de altura no mercúrio de densidade .
Calcule a velocidade no ponto para uma diferença de altura de no mercúrio.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um medidor de Venturi, que é basicamente um tubo que estreita para medir a velocidade de um fluido que passa por ele. Nesse caso, a gasolina está circulando pelo tubo. No ponto A, o diâmetro do tubo é de 4,0 cm, e no ponto B, ele diminui para 2,0 cm. Além disso, há um tubo em U que mede a diferença de altura de um líquido (mercúrio) quando a gasolina flui pelo Venturi. A densidade da gasolina é e a do mercúrio é . A diferença de altura medida é de . Nosso objetivo é calcular a velocidade da gasolina no ponto A.
Para resolver isso, vamos precisar usar a continuidade dos fluidos e a equação de Bernoulli. A continuidade nos ajuda a relacionar as velocidades nos dois pontos do tubo, enquanto Bernoulli relaciona a velocidade do fluido com a diferença de pressão, que é medida pelo tubo em U.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a equação de continuidade para relacionar as velocidades nos pontos A e B. A continuidade diz que, numa tubulação fechada, o fluxo de massa deve ser constante. Isso significa que o produto da área pela velocidade deve ser o mesmo nos dois pontos.
A área de um círculo é dada por:
onde é o diâmetro.
Vamos calcular as áreas nos pontos A e B.

Passo 3

Calculando as áreas:
Para o ponto A ( ):
Para o ponto B ( ):

Passo 4

Agora, pela equação de continuidade, temos:
Onde é a velocidade no ponto A que queremos encontrar, e é a velocidade no ponto B.
Mas ainda não conhecemos . Para isso, vamos usar a equação de Bernoulli, que relaciona as velocidades e pressões nos dois pontos.

Passo 5

A equação de Bernoulli é:
Onde:
  • e são as pressões nos pontos A e B.
  • é a densidade da gasolina.
  • e são as velocidades nos pontos A e B.
A diferença de pressão ( ) é causada pela coluna de mercúrio no tubo em U, que está relacionada pela diferença de altura .

Passo 6

A diferença de pressão causada pelo tubo em U é dada por:
Onde:
  • é a densidade do mercúrio.
  • é a aceleração da gravidade.
  • (convertendo 10 cm para metros).

Passo 7

Substituindo na equação de Bernoulli:
Podemos rearranjar para:

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por :
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 9

Agora, lembrando da equação de continuidade:
Vamos substituir isso na equação anterior:

Passo 10

Isolando :
Agora, basta substituir os valores que já calculamos.

Passo 11

Substituindo os valores:
Calculando :

Passo 12

Agora, substituindo na equação de :
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então:

Passo 13

Finalmente, tirando a raiz quadrada para encontrar :

Resposta

A velocidade da gasolina no ponto A é aproximadamente .

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