O medidor de Venturi ao lado possui um diâmetro igual a 4,0 cm no ponto A . No ponto B o diâmetro é igual a 2,0 cm. Um tubo em U (por onde a gasolina de densidade 720 kg / m^3 que escoa na tubulação pode entrar), esta ligando a parte mais larga à parte mais estreita. No tubo em U, medese a diferença de altura h no mercúrio de densidade 13,6 times 10^3 kg / m^3.
Calcule a velocidade no ponto A para uma diferença de altura de h=10 cm no mercúrio.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um medidor de Venturi, que é basicamente um tubo que estreita para medir a velocidade de um fluido que passa por ele. Nesse caso, a gasolina está circulando pelo tubo. No ponto A, o diâmetro do tubo é de 4,0 cm, e no ponto B, ele diminui para 2,0 cm. Além disso, há um tubo em U que mede a diferença de altura de um líquido (mercúrio) quando a gasolina flui pelo Venturi. A densidade da gasolina é e a do mercúrio é . A diferença de altura medida é de . Nosso objetivo é calcular a velocidade da gasolina no ponto A.
Para resolver isso, vamos precisar usar a continuidade dos fluidos e a equação de Bernoulli. A continuidade nos ajuda a relacionar as velocidades nos dois pontos do tubo, enquanto Bernoulli relaciona a velocidade do fluido com a diferença de pressão, que é medida pelo tubo em U.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a equação de continuidade para relacionar as velocidades nos pontos A e B. A continuidade diz que, numa tubulação fechada, o fluxo de massa deve ser constante. Isso significa que o produto da área pela velocidade deve ser o mesmo nos dois pontos.
A área de um círculo é dada por:
A = pi (d2)^2
onde é o diâmetro.
Vamos calcular as áreas nos pontos A e B.

Passo 3

Calculando as áreas:
Para o ponto A ( AA = pi (0,042)^2 = pi times (0,02)^2 = pi times 0,0004 approx 0,001256 , m^2 ):
AB = pi (0,022)^2 = pi times (0,01)^2 = pi times 0,0001 approx 0,000314 , m^2
Para o ponto B ( ):

Passo 4

Agora, pela equação de continuidade, temos:
AA cdot vA = AB cdot vB
Onde é a velocidade no ponto A que queremos encontrar, e é a velocidade no ponto B.
Mas ainda não conhecemos . Para isso, vamos usar a equação de Bernoulli, que relaciona as velocidades e pressões nos dois pontos.

Passo 5

A equação de Bernoulli é:
PA + 12 rho vA^2 = PB + 12 rho vB^2
Onde:
  • e são as pressões nos pontos A e B.
  • é a densidade da gasolina.
  • e são as velocidades nos pontos A e B.
A diferença de pressão ( ) é causada pela coluna de mercúrio no tubo em U, que está relacionada pela diferença de altura .

Passo 6

A diferença de pressão causada pelo tubo em U é dada por:
PA - PB = rhoHg cdot g cdot h
Onde:
  • é a densidade do mercúrio.
  • é a aceleração da gravidade.
  • (convertendo 10 cm para metros).

Passo 7

Substituindo na equação de Bernoulli:
rhoHg cdot g cdot h + 12 rho vA^2 = 12 rho vB^2
Podemos rearranjar para:
12 rho vB^2 - 12 rho vA^2 = rhoHg cdot g cdot h

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por vB^2 - vA^2 = 2 rhoHg cdot g cdot hrho :
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 9

Agora, lembrando da equação de continuidade:
vB = AAAB cdot vA
Vamos substituir isso na equação anterior:
(AAAB cdot vA)^2 - vA^2 = 2 rhoHg cdot g cdot hrho
(AA^2AB^2 - 1) vA^2 = 2 rhoHg cdot g cdot hrho

Passo 10

Isolando vA^2 = 2 rhoHg cdot g cdot hrho (AA^2AB^2 - 1) :
Agora, basta substituir os valores que já calculamos.

Passo 11

Substituindo os valores:
rhoHg = 13,6 times 10^3 , kg/m^3
g = 9,81 , m/s^2
h = 0,10 , m
rho = 720 , kg/m^3
AA = 0,001256 , m^2
AB = 0,000314 , m^2
Calculando (0,001256)^2(0,000314)^2 - 1 = 1,578 times 10^-69,86 times 10^-8 - 1 approx 16 - 1 = 15 :

Passo 12

Agora, substituindo na equação de vA^2 = 2 times 13,6 times 10^3 times 9,81 times 0,10720 times 15 :
2 times 13,6 times 10^3 times 9,81 times 0,10 = 2 times 13,6 times 10^3 times 0,981 approx 2 times 13,6 times 981 approx 26,7 times 10^3
Calculando o numerador:
720 times 15 = 10,800
E o denominador:
vA^2 = 26,7 times 10^310,800 approx 2,47 times 10^3
Então:

Passo 13

Finalmente, tirando a raiz quadrada para encontrar vA = raiz2,47 times 10^3 approx 49,7 , m/s :

Resposta

A velocidade da gasolina no ponto A é aproximadamente .

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