Suponha que duas ondas progressivas se propaguem numa corda. Ambas viajam a uma velocidade de v=+ 2 0 m / s e possuem comprimento de onda lambda=( 0 , 1 pi ) m, uma delas possui amplitude y1 m=1,0 m enquanto a outra possui amplitude y2 m=2,0 m e está defasada da primeira por Phi=pi / 3. Escreva a equação para cada uma dessas ondas e, usando fasores, encontre a amplitude da onda resultante e o ângulo de fase que esta onda forma com a primeira. (1,5)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas ondas que se movem numa corda com a mesma velocidade de e o mesmo comprimento de onda . A primeira onda tem amplitude e a segunda tem amplitude , mas está defasada da primeira por um ângulo de fase . A questão quer que escrevamos as equações dessas ondas e, usando fasores, encontremos a amplitude da onda resultante e o ângulo de fase dessa onda em relação à primeira.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar de como representar ondas usando funções trigonométricas e como somar essas ondas usando fasores, que são representações vetoriais das ondas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das duas ondas. Como ambas têm a mesma velocidade e comprimento de onda, elas têm a mesma frequência e número de onda. Podemos representar cada onda usando a função coseno:
y1(x, t) = A1 cos(kx - omega t)
y2(x, t) = A2 cos(kx - omega t + Phi)
Aqui, e . O número de onda e a frequência angular podem ser calculados a partir do comprimento de onda e da velocidade, mas como são iguais para ambas as ondas, podemos focar na superposição.

Passo 3

Agora, vamos usar fasores para somar as duas ondas. Um fasor é uma representação vetorial que facilita a soma de ondas com diferentes amplitudes e fases. Para isso, representamos cada onda como um vetor no plano complexo:
Y1 = A1 e^i0 = A1
Y2 = A2 e^iPhi = 2,0 , e^ipi/3

Passo 4

Vamos somar esses dois fasores para encontrar o fasor resultante Y = Y1 + Y2 = A1 + A2 e^iPhi :
Y = 1,0 + 2,0 ( cospi3 + isinpi3 )
Substituindo os valores:
cospi3 = 0,5 e sinpi3 = raiz32
Calculando os valores trigonométricos:
Y = 1,0 + 2,0 ( 0,5 + iraiz32 ) = 1,0 + 1,0 + iraiz3 = 2,0 + iraiz3
Então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a amplitude da onda resultante A = |Y| = raiz(2,0)^2 + (raiz3)^2 = raiz4 + 3 = raiz7 . A amplitude é o módulo do fasor resultante:
A approx 2,646 , m

Passo 6

Por fim, vamos determinar o ângulo de fase theta = tan^-1( raiz32,0 ) que a onda resultante forma com a primeira onda. Esse ângulo é dado pela tangente inversa da componente imaginária sobre a componente real:
theta = tan^-1( raiz32 ) approx 0,5236 , rad ou 30^circ
Calculando:

Resposta

A onda resultante tem uma amplitude de aproximadamente e forma um ângulo de fase de em relação à primeira onda.

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