Suponha que duas ondas progressivas se propaguem numa corda. Ambas viajam a uma velocidade de e possuem comprimento de onda , uma delas possui amplitude enquanto a outra possui amplitude e está defasada da primeira . Escreva a equação para cada uma dessas ondas e, usando fasores, encontre a amplitude da onda resultante e o ângulo de fase que esta onda forma com a primeira.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas ondas que se movem numa corda com a mesma velocidade de e o mesmo comprimento de onda . A primeira onda tem amplitude e a segunda tem amplitude , mas está defasada da primeira por um ângulo de fase . A questão quer que escrevamos as equações dessas ondas e, usando fasores, encontremos a amplitude da onda resultante e o ângulo de fase dessa onda em relação à primeira.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar de como representar ondas usando funções trigonométricas e como somar essas ondas usando fasores, que são representações vetoriais das ondas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das duas ondas. Como ambas têm a mesma velocidade e comprimento de onda, elas têm a mesma frequência e número de onda. Podemos representar cada onda usando a função coseno:
Aqui, e . O número de onda e a frequência angular podem ser calculados a partir do comprimento de onda e da velocidade, mas como são iguais para ambas as ondas, podemos focar na superposição.

Passo 3

Agora, vamos usar fasores para somar as duas ondas. Um fasor é uma representação vetorial que facilita a soma de ondas com diferentes amplitudes e fases. Para isso, representamos cada onda como um vetor no plano complexo:

Passo 4

Vamos somar esses dois fasores para encontrar o fasor resultante :
Substituindo os valores:
Calculando os valores trigonométricos:
Então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a amplitude da onda resultante . A amplitude é o módulo do fasor resultante:

Passo 6

Por fim, vamos determinar o ângulo de fase que a onda resultante forma com a primeira onda. Esse ângulo é dado pela tangente inversa da componente imaginária sobre a componente real:
Calculando:

Resposta

A onda resultante tem uma amplitude de aproximadamente e forma um ângulo de fase de em relação à primeira onda.

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