O medidor de Venturi ao lado possui um diâmetro igual a 4,0 cm no ponto A . No ponto B o diâmetro é igual a 2,0 cm. Um tubo em U (por onde a gasolina de densidade 720 kg / m^3 que escoa na tubulação pode entrar), esta ligando a parte mais larga à parte mais estreita. No tubo em U, medese a diferença de altura h no mercúrio de densidade 13,6 times 10^3 kg / m^3.
Calcule a diferença de altura h em função da velocidade de entrada no ponto A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um medidor de Venturi com dois pontos: A, que tem diâmetro de 4,0 cm, e B, com diâmetro de 2,0 cm. Tem também um tubo em U conectado entre esses pontos, que mede a diferença de altura usando mercúrio. A gasolina que está passando tem densidade de , e a densidade do mercúrio é . Nosso objetivo é calcular essa diferença de altura em função da velocidade de entrada no ponto A. Vamos usar conceitos de equação de continuidade e equação de Bernoulli para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a equação de continuidade. Ela diz que, para um fluido incompressível, o fluxo de massa deve ser constante ao longo do tubo. Isso significa que a área multiplicada pela velocidade em um ponto é igual ao produto na outro. A fórmula é:
AA cdot vA = AB cdot vB
Onde:
  • e são as áreas das seções A e B,
  • e são as velocidades nos pontos A e B.

Passo 3

Vamos calcular as áreas das seções A e B. Como as seções são circulares, a área é dada por:
A = pi d^24
Para o ponto A:
AA = pi (0,04)^24 = pi times 0,00164 = 0,001256 , m^2
Para o ponto B:
AB = pi (0,02)^24 = pi times 0,00044 = 0,000314 , m^2

Passo 4

Usando a equação de continuidade:
0,001256 cdot vA = 0,000314 cdot vB Rightarrow vB = 0,0012560,000314 cdot vA Rightarrow vB = 4 cdot vA
Então, a velocidade no ponto B é quatro vezes a velocidade no ponto A.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em dois pontos de um fluido em escoamento:
PA + 12 rho vA^2 = PB + 12 rho vB^2
Subviewar PA - PB = rhoHg cdot g cdot h como a densidade da gasolina ( ). Sabemos que é a diferença de pressão, que está relacionada à diferença de altura no tubo em U com mercúrio, usando:
Onde:
  • ,
  • é a aceleração da gravidade ( ).

Passo 6

Vamos substituir rhoHg cdot g cdot h = 12 rho (vB^2 - vA^2) na equação de Bernoulli:
rhoHg cdot g cdot h = 12 rho ((4vA)^2 - vA^2) Rightarrow rhoHg cdot g cdot h = 12 rho (16vA^2 - vA^2) Rightarrow rhoHg cdot g cdot h = 12 rho cdot 15vA^2 Rightarrow rhoHg cdot g cdot h = 152 rho vA^2
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, isolamos h = 152 rho vA^2rhoHg cdot g Rightarrow h = 15 rho vA^22 rhoHg g para encontrar a diferença de altura:
h = 15 times 720 times vA^22 times 13,6 times 10^3 times 9,81
Substituindo os valores:

Resposta

A diferença de altura h = 15 times 720 times vA^22 times 13,6 times 10^3 times 9,81 approx 0,0417 , vA^2 , metros em função da velocidade de entrada no ponto A é:

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