A meia vida da desintegração radioativa de rádio é 1590 anos. Calcule a constante de decaimento. Em quantos anos do rádio terão decaído?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre decaimento radioativo do rádio. A gente sabe que a meia-vida desse isótopo é de 1590 anos. Precisamos descobrir a constante de decaimento e também em quantos anos 3/4 do rádio terão decaído. Para isso, vamos usar as fórmulas do decaimento exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a meia-vida. A meia-vida é o tempo que leva para metade de uma quantidade de material radioativo se desintegrar. A relação entre a meia-vida ( ) e a constante de decaimento ( ) é dada por:
Aqui, é o logaritmo natural de 2.

Passo 3

Queremos encontrar a constante de decaimento ( ). Vamos rearranjar a fórmula para isolá-la:
Agora, substituímos o valor da meia-vida:

Passo 4

Calculando o valor numérico:
Então, a constante de decaimento é aproximadamente .

Passo 5

Agora, vamos descobrir em quantos anos 3/4 do rádio terão decaído. Isso significa que restará 1/4 da quantidade original. A fórmula para a quantidade restante após algum tempo é:
Aqui, é a quantidade restante após o tempo , e é a quantidade inicial.

Passo 6

Queremos que . Vamos substituir na fórmula:
Podemos dividir ambos os lados por :

Passo 7

Agora, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para :
Sabendo que , temos:
Simplificando:

Passo 8

Substituindo o valor de que calculamos:

Resposta

A constante de decaimento é aproximadamente e 3/4 do rádio terão decaído após cerca de 3181 anos.

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