A meia vida da desintegração radioativa de rádio é 1590 anos. Calcule a constante de decaimento. Em quantos anos
do rádio terão decaído?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre decaimento radioativo do rádio. A gente sabe que a meia-vida desse isótopo é de 1590 anos. Precisamos descobrir a constante de decaimento e também em quantos anos 3/4 do rádio terão decaído. Para isso, vamos usar as fórmulas do decaimento exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a meia-vida. A meia-vida é o tempo que leva para metade de uma quantidade de material radioativo se desintegrar. A relação entre a meia-vida (
) e a constante de decaimento (
) é dada por:
Aqui,
é o logaritmo natural de 2.
Passo 3
Queremos encontrar a constante de decaimento (
). Vamos rearranjar a fórmula para isolá-la:
Agora, substituímos o valor da meia-vida:
Passo 4
Calculando o valor numérico:
Então, a constante de decaimento é aproximadamente
.
Passo 5
Agora, vamos descobrir em quantos anos 3/4 do rádio terão decaído. Isso significa que restará 1/4 da quantidade original. A fórmula para a quantidade restante após algum tempo é:
Aqui,
é a quantidade restante após o tempo
, e
é a quantidade inicial.
Passo 6
Queremos que
. Vamos substituir na fórmula:
Podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para
:
Sabendo que
, temos:
Simplificando:
Passo 8
Substituindo o valor de
que calculamos:
Resposta
A constante de decaimento é aproximadamente
e 3/4 do rádio terão decaído após cerca de 3181 anos.
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