A meia vida da desintegração radioativa de rádio é 1590 anos. Calcule a constante de decaimento. Em quantos anos 3 / 4 do rádio terão decaído?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre decaimento radioativo do rádio. A gente sabe que a meia-vida desse isótopo é de 1590 anos. Precisamos descobrir a constante de decaimento e também em quantos anos 3/4 do rádio terão decaído. Para isso, vamos usar as fórmulas do decaimento exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a meia-vida. A meia-vida é o tempo que leva para metade de uma quantidade de material radioativo se desintegrar. A relação entre a meia-vida ( t1/2) e a constante de decaimento ( lambda) é dada por:
t1/2 = ln(2)lambda
Aqui, ln(2) é o logaritmo natural de 2.

Passo 3

Queremos encontrar a constante de decaimento ( lambda). Vamos rearranjar a fórmula para isolá-la:
lambda = ln(2)t1/2
Agora, substituímos o valor da meia-vida:
lambda = ln(2)1590 anos

Passo 4

Calculando o valor numérico:
lambda = 0.6931590 approx 0.000436 ano^-1
Então, a constante de decaimento é aproximadamente 0.000436 ano^-1.

Passo 5

Agora, vamos descobrir em quantos anos 3/4 do rádio terão decaído. Isso significa que restará 1/4 da quantidade original. A fórmula para a quantidade restante após algum tempo é:
N(t) = N0 e^-lambda t
Aqui, N(t) é a quantidade restante após o tempo t, e N0 é a quantidade inicial.

Passo 6

Queremos que N(t) = 14N0. Vamos substituir na fórmula:
14N0 = N0 e^-lambda t
Podemos dividir ambos os lados por N0:
14 = e^-lambda t

Passo 7

Agora, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para t:
ln(14) = -lambda t
Sabendo que ln(14) = -ln(4), temos:
-ln(4) = -lambda t
Simplificando:
t = ln(4)lambda

Passo 8

Substituindo o valor de lambda que calculamos:
t = ln(4)0.000436 approx 1.3860.000436 approx 3181 anos

Resposta

A constante de decaimento é aproximadamente 0.000436 ano^-1 e 3/4 do rádio terão decaído após cerca de 3181 anos.

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