Como o tempo necessário para uma reação de primeira ordem estar 99 % completa está relacionado com o tempo de meia vida da reação?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre quanto tempo leva para uma reação de primeira ordem chegar a 99% de completude e como isso se relaciona com o tempo de meia-vida da reação. Para resolver isso, vamos precisar entender a cinética de reações de primeira ordem e usar algumas fórmulas matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma reação de primeira ordem. Nesse tipo de reação, a velocidade depende apenas da concentração de um reagente. A equação que descreve isso é:
ln(AA0) = -kt
Aqui, é a concentração inicial, é a concentração no tempo , e é a constante de velocidade.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o tempo de meia-vida ( t1/2 = ln(2)k ). É o tempo que a reação leva para reduzir a concentração do reagente pela metade. A fórmula para o tempo de meia-vida em uma reação de primeira ordem é:
Onde é aproximadamente 0,693.

Passo 4

Queremos descobrir quanto tempo leva para a reação estar 99% completa. Isso significa que apenas 1% da concentração inicial permanece. Então, ln(0,01) = -kt99 . Vamos substituir isso na primeira equação:
Calculando , que é aproximadamente -4,605.

Passo 5

Agora, temos:
-4,605 = -kt99
Simplificando os sinais:
4,605 = kt99
Mas sabemos que 4,605 = ln(2)t1/2 times t99 , então substituindo:

Passo 6

Vamos isolar t99 = 4,605 times t1/2ln(2) :
t99 approx 4,605 times t1/20,693 approx 6,64 times t1/2
Substituindo por 0,693:

Resposta

O tempo necessário para uma reação de primeira ordem estar 99 % completa é aproximadamente 6,64 vezes o tempo de meia-vida da reação.

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