Como o tempo necessário para uma reação de primeira ordem estar completa está relacionado com o tempo de meia vida da reação?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre quanto tempo leva para uma reação de primeira ordem chegar a 99% de completude e como isso se relaciona com o tempo de meia-vida da reação. Para resolver isso, vamos precisar entender a cinética de reações de primeira ordem e usar algumas fórmulas matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma reação de primeira ordem. Nesse tipo de reação, a velocidade depende apenas da concentração de um reagente. A equação que descreve isso é:
Aqui, é a concentração inicial, é a concentração no tempo , e é a constante de velocidade.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o tempo de meia-vida ( ). É o tempo que a reação leva para reduzir a concentração do reagente pela metade. A fórmula para o tempo de meia-vida em uma reação de primeira ordem é:
Onde é aproximadamente 0,693.

Passo 4

Queremos descobrir quanto tempo leva para a reação estar 99% completa. Isso significa que apenas 1% da concentração inicial permanece. Então, . Vamos substituir isso na primeira equação:
Calculando , que é aproximadamente -4,605.

Passo 5

Agora, temos:
Simplificando os sinais:
Mas sabemos que , então substituindo:

Passo 6

Vamos isolar :
Substituindo por 0,693:

Resposta

O tempo necessário para uma reação de primeira ordem estar 99 % completa é aproximadamente 6,64 vezes o tempo de meia-vida da reação.

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