Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
, em que
é a região limitada pelo triângulo de vértices
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
onde a região
é o triângulo com vértices em
,
e
. Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para integrais que envolvem
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
no plano cartesiano. O triângulo tem vértices em
,
e
, então ele está localizado no primeiro quadrante. A base do triângulo está no eixo
de 0 a 3, e a altura vai de
até
quando
.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é:
Passo 4
A próxima coisa é determinar os limites de integração para
e
. Olhando para o triângulo, vemos que
varia de 0 até
(45 graus), porque a reta que liga
a
tem inclinação 1, o que corresponde a um ângulo de 45 graus.
Para
, o raio vai de 0 até onde a linha
intercepta o raio. Em coordenadas polares, isso acontece quando:
Então, os limites são:
Passo 5
Substituindo tudo isso na integral original, temos:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
A integral de
é conhecida e �� dada por:
Passo 8
Aplicando os limites de integração:
Vamos calcular para
:
E para
:
Então, substituindo:
Simplificando:
Resposta
A integral vale