Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
integral duplaR raizx^2+y^2 d A, em que R é a região limitada pelo triângulo de vértices (0,0),(3,0) e (3,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
integral duplaR raizx^2+y^2 , dA
onde a região é o triângulo com vértices em , e . Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para integrais que envolvem .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região no plano cartesiano. O triângulo tem vértices em , e , então ele está localizado no primeiro quadrante. A base do triângulo está no eixo de 0 a 3, e a altura vai de até quando .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
x = r costheta e y = r sintheta
Além disso, o elemento de área dA = r , dr , dtheta em coordenadas polares é:

Passo 4

A próxima coisa é determinar os limites de integração para r costheta = 3 Rightarrow r = 3costheta e 0 <= theta <= pi4 e 0 <= r <= 3costheta . Olhando para o triângulo, vemos que varia de 0 até (45 graus), porque a reta que liga a tem inclinação 1, o que corresponde a um ângulo de 45 graus.
Para , o raio vai de 0 até onde a linha intercepta o raio. Em coordenadas polares, isso acontece quando:
Então, os limites são:

Passo 5

Substituindo tudo isso na integral original, temos:
integral duplaR raizx^2+y^2 , dA = integral0^pi4 integral0^3costheta r cdot r , dr , dtheta = integral0^pi4 integral0^3costheta r^2 , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a integral0^3costheta r^2 , dr = [ r^33 ]0^3costheta = ( 3costheta )^3 3 = 273 cos^3theta = 9cos^3theta :

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^pi4 9cos^3theta , dtheta = 9 integral0^pi4 sec^3theta , dtheta
A integral de integral sec^3theta , dtheta = 12 sectheta tantheta + 12 ln |sectheta + tantheta| + C é conhecida e �� dada por:

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
9 [ 12 sectheta tantheta + 12 ln |sectheta + tantheta| ]0^pi4
Vamos calcular para sec(pi4) = raiz2, tan(pi4) = 1 :
sec(0) = 1, tan(0) = 0
E para 9 [ 12 (raiz2)(1) + 12 ln (raiz2 + 1) - ( 12 (1)(0) + 12 ln (1 + 0) ) ] :
9 [ raiz22 + 12 ln (raiz2 + 1) ]
Então, substituindo:
Simplificando:

Resposta

A integral vale
92 ( raiz2 + ln(1 + raiz2) )

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