Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
integral-a^a integral0^raiza^2-x^2 e^-(x^2+y^2) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando coordenadas polares! O enunciado pede para calcular:
integral-a^a integral0^raiza^2-x^2 e^-(x^2+y^2) , dy , dx
Aqui, estamos lidando com uma integral dupla sobre uma região semicircular de raio no primeiro e segundo quadrantes. Para simplificar, vamos usar coordenadas polares, que são mais adequadas para áreas circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cartesianas x = r costheta y = r sintheta para coordenadas polares :
Além disso, o elemento de área em coordenadas cartesianas se transforma em em coordenadas polares. Isso acontece porque a jacobiana da transformação é .

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração em coordenadas polares. A região que estamos integrando é um semicírculo de raio , então:
  • varia de a
  • varia de a (já que estamos cobrindo de a no eixo , correspondendo ao semicírculo superior)

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral-a^a integral0^raiza^2-x^2 e^-(x^2+y^2) , dy , dx = integral0^pi integral0^a e^-r^2 cdot r , dr , dtheta
Aqui, se torna e se torna .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^a e^-r^2 cdot r , dr :
12 integral0^a^2 e^-u , du = 12 [ -e^-u ]0^a^2 = 12 (1 - e^-a^2)
Fazendo a substituição , então ou , a integral fica:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:
integral0^pi 12 (1 - e^-a^2) , dtheta = 12 (1 - e^-a^2) integral0^pi dtheta
A integral de 12 (1 - e^-a^2) cdot pi = pi2 (1 - e^-a^2) de a é simplesmente :

Resposta

A integral vale .

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