Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando coordenadas polares! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com uma integral dupla sobre uma região semicircular de raio
no primeiro e segundo quadrantes. Para simplificar, vamos usar coordenadas polares, que são mais adequadas para áreas circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas cartesianas se transforma em
em coordenadas polares. Isso acontece porque a jacobiana da transformação é
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração em coordenadas polares. A região que estamos integrando é um semicírculo de raio
, então:
-
varia de a -
varia de a (já que estamos cobrindo de a no eixo , correspondendo ao semicírculo superior)
Passo 4
Substituindo tudo na integral original, temos:
Aqui,
se torna
e
se torna
.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo a substituição
, então
ou
, a integral fica:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:
A integral de
de
a
é simplesmente
:
Resposta
A integral vale
.
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e
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, em que
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