Por meio de coordenadas polares, calcule a integral

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando coordenadas polares! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com uma integral dupla sobre uma região semicircular de raio no primeiro e segundo quadrantes. Para simplificar, vamos usar coordenadas polares, que são mais adequadas para áreas circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cartesianas para coordenadas polares :
Além disso, o elemento de área em coordenadas cartesianas se transforma em em coordenadas polares. Isso acontece porque a jacobiana da transformação é .

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração em coordenadas polares. A região que estamos integrando é um semicírculo de raio , então:
  • varia de a
  • varia de a (já que estamos cobrindo de a no eixo , correspondendo ao semicírculo superior)

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, temos:
Aqui, se torna e se torna .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo a substituição , então ou , a integral fica:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:
A integral de de a é simplesmente :

Resposta

A integral vale .

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, em que é a região limitada pelo triângulo de vértices e
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