Por meio de coordenadas polares, calcule a integral

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. A questões envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente mudando para coordenadas polares para simplificar o cálculo. Vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que vamos integrar: . Em coordenadas polares, e , então .

Passo 3

Agora, substituímos a função na integral:
E o diferencial de área em coordenadas polares é .

Passo 4

A integral original fica então:
Aqui, determinamos que varia de 0 a porque corresponde a .

Passo 5

Simplificando a integral:

Passo 6

Integrando em relação a :

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
, em que é a região limitada pelo triângulo de vértices e
Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido .
: delimitado pelo cone e o cilindro