Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. A questões envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente mudando para coordenadas polares para simplificar o cálculo. Vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que vamos integrar:
. Em coordenadas polares,
e
, então
.
Passo 3
Agora, substituímos a função na integral:
E o diferencial de área em coordenadas polares é
.
Passo 4
A integral original fica então:
Aqui, determinamos que
varia de 0 a
porque
corresponde a
.
Passo 5
Simplificando a integral:
Passo 6
Integrando em relação a
:
Resposta
A integral vale
.