Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
integral1^2 integral0^x 1raizx^2+y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. A questões envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente mudando para coordenadas polares para simplificar o cálculo. Vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que vamos integrar: . Em coordenadas polares, e , então .

Passo 3

Agora, substituímos a função na integral:
1raizx^2+y^2 = 1r
E o diferencial de área em coordenadas polares é .

Passo 4

A integral original fica então:
integralr=1^2 integraltheta=0^pi4 1r cdot r , dtheta , dr
Aqui, determinamos que varia de 0 a porque corresponde a .

Passo 5

Simplificando a integral:
integral1^2 integral0^pi4 1 , dtheta , dr = integral1^2 [ theta ]0^pi4 dr = integral1^2 pi4 , dr

Passo 6

Integrando em relação a pi4 integral1^2 dr = pi4 [ r ]1^2 = pi4 (2 - 1) = pi4 :

Resposta

A integral vale .

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