Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
integral0^2 integral-raiz2 y-y^2^raiz2 y-y^2 1raizx^2+y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é:
integral0^2 integral-raiz2y - y^2^raiz2y - y^2 1raizx^2+y^2 , dx , dy
Vamos precisar entender como converter essa integral para coordenadas polares e usar algumas propriedades de integrais nessa nova sistemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é descrito por x = r cos theta y = r sin theta e , onde:
  • é a distância do ponto até a origem.
  • é o ângulo que a linha que liga a origem ao ponto faz com o eixo positivo x.
As relações entre coordenadas cartesianas e polares são:
E o elemento de área em coordenadas polares se transforma em .

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de integração do enunciado para entender a região sobre a qual estamos integrando.
A integral está definida de x^2 + y^2 - 2y = 0 x^2 + (y - 1)^2 = 1 a e, para cada , varia de a .
Vamos reescrever a expressão para identificar a forma da região:
Isso representa um círculo com centro em e raio . Portanto, a região de integração é a metade superior desse círculo, já que varia de a .

Passo 4

Vamos converter a integral para coordenadas polares. Substituindo 1raizx^2+y^2 = 1r e dx , dy = r , dr , dtheta por integral integral 1r cdot r , dr , dtheta = integral integral dr , dtheta e , respectivamente, temos:
E o elemento de área:
Então, a integral original se transforma em:
Ou seja, a integral simplifica para a área da região em coordenadas polares.

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites de 0 <= theta <= pi 0 <= r <= 1 e em coordenadas polares para cobrir a região do semicírculo de raio 1.
  • varia de a para cobrir a metade superior do círculo.
  • Para cada , varia de até o raio do círculo, que é .
Portanto, os limites são:

Passo 6

Agora, podemos calcular a integral:
integral0^pi integral0^1 dr , dtheta
Primeiro, integremos em relação a integral0^1 dr = [r]0^1 = 1 - 0 = 1 :
integral0^pi 1 , dtheta = [theta]0^pi = pi - 0 = pi
Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral vale .

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