Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é:
Vamos precisar entender como converter essa integral para coordenadas polares e usar algumas propriedades de integrais nessa nova sistemática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é descrito por
e
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo que a linha que liga a origem ao ponto faz com o eixo positivo x.
As relações entre coordenadas cartesianas
e polares
são:
E o elemento de área
em coordenadas polares se transforma em
.
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites de integração do enunciado para entender a região sobre a qual estamos integrando.
A integral está definida de
a
e, para cada
,
varia de
a
.
Vamos reescrever a expressão
para identificar a forma da região:
Isso representa um círculo com centro em
e raio
. Portanto, a região de integração é a metade superior desse círculo, já que
varia de
a
.
Passo 4
Vamos converter a integral para coordenadas polares. Substituindo
e
por
e
, respectivamente, temos:
E o elemento de área:
Então, a integral original se transforma em:
Ou seja, a integral simplifica para a área da região em coordenadas polares.
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites de
e
em coordenadas polares para cobrir a região do semicírculo de raio 1.
-
varia de a para cobrir a metade superior do círculo. - Para cada
, varia de até o raio do círculo, que é .
Portanto, os limites são:
Passo 6
Agora, podemos calcular a integral:
Primeiro, integremos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral vale
.