Em um meio dielétrico com
, o campo elétrico é dado por
Calcule a energia eletrostática armazenada na região
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para calcular a energia eletrostática armazenada em uma região específica de um meio dielétrico. A gente está trabalhando com campos elétricos e eletricidade estática. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula que relaciona a energia armazenada em um campo elétrico, além de trabalhar com integrais para somar tudo na região indicada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da energia eletrostática armazenada em um meio dielétrico. A energia por unidade de volume $ u $ é dada por:
Aqui, $ \varepsilon $ é a permissividade do meio, que é o produto da permissividade do vácuo $ \varepsilon_0 $ e a constante dielétrica relativa $ \varepsilon_{\mathrm{r}} $. Então:
Passo 3
Vamos calcular $ |\mathbf{E}|^2 $, que é o quadrado da magnitude do campo elétrico $ \mathbf{E} $. Dado:
A magnitude ao quadrado é:
Vamos desenvolver cada termo:
- $ (x^{2} + 2z)^2 = x^{4} + 4x^{2}z + 4z^{2} $
- $ (x{2})2 = x^{4} $
- $ (-y - z)^2 = y^{2} + 2yz + z^{2} $
Então:
Passo 4
Agora, vamos montar a expressão para a energia total $ U $ armazenada na região especificada. A integral será sobre os limites dados:
Passo 5
Vamos calcular cada parte da integral passo a passo.
Primeiro, lembrando que:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
- Integração de $ 2x^{4} $:
- Integração de $ 4x^{2}z $:
Como $ z $ é integrado de 0 a 3, primeiro integramos em $ z $:
Agora, integraremos em $ x $:
E depois em $ y $ de 0 a 2:
Então, total: $ 12 \times 2 = 24 $
- Integração de $ 5z^{2} $:
Integre primeiro em $ z $:
Agora, integraremos em $ x $ de -1 a 1:
E em $ y $:
Então, total: $ 45 \times 2 \times 2 = 180 $
- Integração de $ y^{2} $:
Integre em $ y $:
Agora, integra em $ z $ de 0 a 3:
E em $ x $:
Então, total: $ \frac{8}{3} \times 3 \times 2 = 16 $
- Integração de $ 2yz $:
Primeiro, integre em $ z $:
Agora, integre em $ y $ de 0 a 2:
E em $ x $:
Então, total: $ 18 \times 2 = 36 $
Passo 6
Agora, somamos todas as partes integradas:
Multiplicando pela constante $ \frac{1}{2} \varepsilon $:
Calculando:
Resposta
A energia eletrostática armazenada na região especificada é aproximadamente $ 4.55 \times 10^{-9} $ joules.