Em um meio dielétrico com varepsilonr=4, o campo elétrico é dado por
E=x(x^2+2 z)+y x^2-z(y+z) (V / m)
Calcule a energia eletrostática armazenada na região -1 m <= x <= 1 m, 0 <= y <= 2 me 0 <= z <= 3 m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para calcular a energia eletrostática armazenada em uma região específica de um meio dielétrico. A gente está trabalhando com campos elétricos e eletricidade estática. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula que relaciona a energia armazenada em um campo elétrico, além de trabalhar com integrais para somar tudo na região indicada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da energia eletrostática armazenada em um meio dielétrico. A energia por unidade de volume $ u $ é dada por:
u
Aqui, $ \varepsilon $ é a permissividade do meio, que é o produto da permissividade do vácuo $ \varepsilon_0 $ e a constante dielétrica relativa $ \varepsilon_{\mathrm{r}} $. Então:
u = 12 varepsilon |E|^2

Passo 3

Vamos calcular $ |\mathbf{E}|^2 $, que é o quadrado da magnitude do campo elétrico $ \mathbf{E} $. Dado:
|E|^2
A magnitude ao quadrado é:
E
Vamos desenvolver cada termo:
  1. $ (x^{2} + 2z)^2 = x^{4} + 4x^{2}z + 4z^{2} $
  2. $ (x{2})2 = x^{4} $
  3. $ (-y - z)^2 = y^{2} + 2yz + z^{2} $
Então:
E = x(x^2 + 2z) + yx^2 - z(y + z)

Passo 4

Agora, vamos montar a expressão para a energia total $ U $ armazenada na região especificada. A integral será sobre os limites dados:
U

Passo 5

Vamos calcular cada parte da integral passo a passo.
Primeiro, lembrando que:
varepsilon = varepsilon0 varepsilonr = (8.85 times 10^-12 , F/m) times 4 = 3.54 times 10^-11 , F/m
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
  1. Integração de $ 2x^{4} $:
2x^4
  1. Integração de $ 4x^{2}z $:
Como $ z $ é integrado de 0 a 3, primeiro integramos em $ z $:
integral-1^1 2x^4 , dx = 2 [ x^55 ]-1^1 = 2 ( 15 - (-15) ) = 45
Agora, integraremos em $ x $:
4x^2z
E depois em $ y $ de 0 a 2:
z
Então, total: $ 12 \times 2 = 24 $
  1. Integração de $ 5z^{2} $:
Integre primeiro em $ z $:
z
Agora, integraremos em $ x $ de -1 a 1:
integral0^3 4x^2z , dz = 4x^2 [ z^22 ]0^3 = 4x^2 times 92 = 18x^2
E em $ y $:
x
Então, total: $ 45 \times 2 \times 2 = 180 $
  1. Integração de $ y^{2} $:
Integre em $ y $:
integral-1^1 18x^2 , dx = 18 [ x^33 ]-1^1 = 18 ( 13 - (-13) ) = 12
Agora, integra em $ z $ de 0 a 3:
y
E em $ x $:
integral0^2 dy = 2
Então, total: $ \frac{8}{3} \times 3 \times 2 = 16 $
  1. Integração de $ 2yz $:
Primeiro, integre em $ z $:
12 times 2 = 24
Agora, integre em $ y $ de 0 a 2:
5z^2
E em $ x $:
z
Então, total: $ 18 \times 2 = 36 $

Passo 6

Agora, somamos todas as partes integradas:
45 + 24 + 180 + 16 + 36 = 45 + 24 + 180 + 16 + 36 = 256.8
Multiplicando pela constante $ \frac{1}{2} \varepsilon $:
12 varepsilon
Calculando:
U = 12 times 3.54 times 10^-11 , F/m times 256.8 , V^2/m^2

Resposta

A energia eletrostática armazenada na região especificada é aproximadamente $ 4.55 \times 10^{-9} $ joules.

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