A ruptura do dielétrico ocorre em um material sempre que o campo E exceder a rigidez dielétrica em qualquer ponto do material. Considerando o capacitor coaxial do Exemplo 4-12, qual a tensão de ruptura se a=1 cm, b=2 cm e o material dielétrico for a mica com varepsilonr=6 ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um capacitor coaxial com duas placas: uma interna de raio $ a = 1 $ cm e uma externa de raio $ b = 2 $ cm. O material que separa essas placas é mica, que tem uma constante dielétrica relativa $ \varepsilon_{\mathrm{r}} = 6 $. A pergunta é: qual é a tensão de ruptura desse material? Ou seja, qual a tensão necessária para que o campo elétrico entre as placas exceda a rigidez dielétrica da mica e, assim, cause a ruptura?
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre capacitores coaxiais, o campo elétrico entre as placas e como a rigidez dielétrica está relacionada à tensão de ruptura. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um capacitor coaxial. Imagine dois cilindros concêntricos: o interno tem raio $ a $ e o externo raio $ b $. O espaço entre eles é preenchido por um material dielétrico, que nesse caso é a mica. A capacitância e o campo elétrico entre essas placas dependem das dimensões dos cilindros e das propriedades do material dielétrico.

Passo 3

O próximo passo é lembrar como calcular o campo elétrico $ E $ em um capacitor coaxial. A fórmula para o campo elétrico em um ponto a uma distância $ r $ do eixo central é:
E
Aqui, $ V $ é a tensão aplicada entre as placas, $ a $ é o raio interno, $ b $ é o raio externo, e $ \ln $ representa o logaritmo natural.

Passo 4

A ruptura dielétrica ocorre quando o campo elétrico $ E $ excede a rigidez dielétrica $ E_{ruptura} $ do material. Então, para encontrar a tensão de ruptura $ V_{ruptura} $, queremos que:
E
Isso significa que o campo elétrico na superfície interna ($ r = a $) atinge o valor crítico.

Passo 5

Vamos substituir $ r = a $ na fórmula do campo elétrico:
r = a
Agora, isolamos $ V_{ruptura} $:
E(a) = Vrupturaa ln(ba) = Eruptura

Passo 6

Para calcular numericamente, precisamos saber o valor de $ E_{ruptura} $ para a mica. Supondo que a rigidez dielétrica da mica seja $ E_{ruptura} = 7 \times 10^6 , V/m $ (valor típico), podemos substituir os valores:
Eruptura
Eruptura = 7 times 10^6 , V/m
a = 1 , cm = 0,01 , m

Passo 7

Agora, substituímos tudo na fórmula:
Vruptura = 7 times 10^6 , V/m times 0,01 , m times 0,6931 approx 7 times 10^6 times 0,01 times 0,6931
Calculando:
Vruptura approx 7 times 10^6 times 0,006931 = 48517 , V

Resposta

A tensão de ruptura do capacitor coaxial com mica como dielétrico é aproximadamente $ 4,85 \times 10^4 , V $ ou 48.517 volts.

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