Prove que toda normal a uma esfera passa pelo seu centro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que toda normal a uma esfera passa pelo seu centro. Estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente sobre as propriedades das esferas e suas normais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma normal a uma superfície e a equação da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma esfera. A equação geral de uma esfera com centro no ponto e raio é:

Passo 3

Agora, a normal a uma esfera em um ponto na superfície é uma reta que passa por esse ponto e é perpendicular à superfície naquele ponto. Matemáticamente, a direção da normal é dada pelo gradiente da função que define a esfera.

Passo 4

Calculando o gradiente da função da esfera :

Passo 5

A direção da normal é, portanto, proporcional a . Isso significa que qualquer reta normal à esfera no ponto pode ser descrita parametricamente como:
onde é um parâmetro real.

Passo 6

Vamos investigar onde essa reta normal intersecta o centro da esfera . Para isso, precisamos encontrar o valor de que faz , , e .
Solucionando para :

Passo 7

Usando nas equações de e :
Isso confirma que quando , a reta normal passa pelo centro .

Resposta

Portanto, demonstramos que toda normal a uma esfera realmente passa pelo seu centro.

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