Prove que toda normal a uma esfera passa pelo seu centro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que toda normal a uma esfera passa pelo seu centro. Estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente sobre as propriedades das esferas e suas normais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma normal a uma superfície e a equação da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma esfera. A equação geral de uma esfera com centro no ponto e raio é:
Passo 3
Agora, a normal a uma esfera em um ponto na superfície é uma reta que passa por esse ponto e é perpendicular à superfície naquele ponto. Matemáticamente, a direção da normal é dada pelo gradiente da função que define a esfera.
Passo 4
Calculando o gradiente da função da esfera :
Passo 5
A direção da normal é, portanto, proporcional a . Isso significa que qualquer reta normal à esfera no ponto pode ser descrita parametricamente como:
onde é um parâmetro real.
Passo 6
Vamos investigar onde essa reta normal intersecta o centro da esfera . Para isso, precisamos encontrar o valor de que faz , , e .
Solucionando para :
Passo 7
Usando nas equações de e :
Isso confirma que quando , a reta normal passa pelo centro .
Resposta
Portanto, demonstramos que toda normal a uma esfera realmente passa pelo seu centro.