Um pacote com massa de 2,0 kg em um centro de distribuição está inicialmente em uma esteira rolante horizontal viajando a 1,9 m / s. Num dado ponto ele sai da esteira e desce por uma rampa fixa, inclinada de 40^circ com a horizontal, cuja altura vertical é de 1,50 m. Ao sair da rampa para uma superfície horizontal sua velocidade é de 3,5 m / s.
(a) Qual o trabalho realizado pela força de atrito na rampa sobre o pacote e
(b) qual a magnitude da força de atrito?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um pacote de 2,0 kg que está numa esteira rolante se movendo a 1,9 m/s. De repente, ele sai da esteira e desce por uma rampa inclinada a 40° com a horizontal, com uma altura vertical de 1,50 m. Ao sair da rampa, sua velocidade é de 3,5 m/s em uma superfície horizontal.
Vamos precisar usar conceitos de Trabalho e Energia, especialmente o trabalho realizado pela força de atrito e como isso se relaciona com a energia do pacote ao descer a rampa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a Energia Cinética Inicial do pacote quando ele está na esteira rolante. A energia cinética ( Ek) é dada por:
Ek = 12 m v^2
Onde:
  • m = 2,0, kg (massa do pacote)
  • v = 1,9, m/s (velocidade inicial)
Então,
Ekinicial = 12 times 2,0, kg times (1,9, m/s)^2 = 3,61, J

Passo 3

Agora, vamos considerar a Energia Potencial Gravitacional ( Ep) que o pacote ganha ao descer a rampa. Ela é dada por:
Ep = m g h
Onde:
  • g = 9,8, m/s^2 (aceleração da gravidade)
  • h = 1,50, m (altura vertical)
Então,
Ep = 2,0, kg times 9,8, m/s^2 times 1,50, m = 29,4, J

Passo 4

Ao final da rampa, o pacote tem uma Energia Cinética Final de:
Ekfinal = 12 times 2,0, kg times (3,5, m/s)^2 = 12,25, J

Passo 5

Agora, vamos usar o Princípio da Conservação da Energia. A energia inicial mais a energia potencial recebida menos o trabalho realizado pela força de atrito ( Watrito) é igual à energia final:
Ekinicial + Ep - Watrito = Ekfinal
Substituindo os valores que calculamos:
3,61, J + 29,4, J - Watrito = 12,25, J

Passo 6

Vamos resolver para Watrito:
Watrito = 3,61, J + 29,4, J - 12,25, J = 20,76, J
Portanto, o trabalho realizado pela força de atrito é de 20,76 J.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a Magnitude da Força de Atrito. Sabemos que o trabalho realizado pela força de atrito é dado por:
Watrito = f times d times cos(theta)
Onde:
  • f é a força de atrito que queremos encontrar.
  • d é a distância percorrida pela rampa.
  • theta é o ângulo entre a força de atrito e o deslocamento. Como a força de atrito atua contra o movimento, cos(180°) = -1.
Primeiro, precisamos encontrar a distância d da rampa. Sabemos a altura h e o ângulo theta = 40°, então:
d = hsin(theta) = 1,50, msin(40°) approx 1,50, m0,6428 approx 2,33, m
Agora, rearranjando a fórmula do trabalho para encontrar f:
f = Watritod times cos(theta) = 20,76, J2,33, m times (-1) approx -8,91, N
Como estamos interessados na magnitude, descartamos o sinal negativo:
f approx 8,91, N

Resposta

(a) O trabalho realizado pela força de atrito na rampa sobre o pacote é de aproximadamente 20,76 J.
(b) A magnitude da força de atrito é de aproximadamente 8,91 N.

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