Uma menina de 25 kg sentada no carrossel, que possui um diâmetro de 10 m , no parque de diversões tem uma energia cinética rotacional de 20 J . Determine o momento de inércia da menina em relação ao eixo de rotação e o número de revoluções realizadas pelo carrossel por minuto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma menina de 25 kg que está sentada num carrossel com diâmetro de 10 metros. A energia cinética rotacional do carrossel é de 20 J. A gente precisa descobrir duas coisas: o momento de inércia da menina em relação ao eixo de rotação e quantas voltas o carrossel dá por minuto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia rotacional e momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. É uma medida de quanta resistência um objeto oferece para mudar seu estado de rotação. Para uma massa pontual (como a menina) a fórmula é:
I = m times r^2
onde é a massa e é a distância do eixo de rotação.

Passo 3

Vamos calcular r = 10,m2 = 5,m . O diâmetro do carrossel é 10 metros, então o raio é metade disso:

Passo 4

Agora, usando a massa da menina I = 25,kg times (5,m)^2 = 25 times 25 = 625,kg cdot m^2 e o raio , calculamos o momento de inércia:

Passo 5

Agora vamos determinar o número de revoluções por minuto. Sabemos que a energia cinética rotacional K = 12 I omega^2 é dada por:
onde é a velocidade angular em rad/s.

Passo 6

Vamos isolar 20,J = 12 times 625,kg cdot m^2 times omega^2 na fórmula:
20 = 312.5 times omega^2
omega^2 = 20312.5 = 0.064
omega = raiz0.064 approx 0.253,rad/s

Passo 7

Agora, convertemos 1,rev = 2pi,rad para revoluções por minuto (RPM). Sabemos que:
RPM = omega times 602pi
RPM = 0.253 times 602pi approx 15.186.283 approx 2.414
Substituindo:

Resposta

O momento de inércia da menina é de e o carrossel realiza aproximadamente voltas por minuto.

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