Mostre que F=(2 x y+z^3) imath+x^2 jmath+3 x z^2 k é um campo de força conservativa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer mostrar que o campo de força é conservativo. Isso pertence à matéria de Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre campos conservativos. Para resolver, vamos precisar entender o que torna um campo conservativo e usar o conceito de rotacional (ou “curl”) para verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo de força é conservativo se existir uma função potencial tal que . Mas, uma maneira mais simples de verificar se um campo é conservativo é calcular o rotacional dele. Se o rotacional for zero em todo o espaço, então o campo é conservativo.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z )imath + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x )jmath + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y )k . O rotacional de um campo vetorial é dado por:

Passo 4

Vamos identificar P = 2xy + z^3, Q = x^2, R = 3xz^2 , partial Rpartial y = partialpartial y(3xz^2) = 0 e partial Qpartial z = partialpartial z(x^2) = 0 do nosso campo:
partial Ppartial z = partialpartial z(2xy + z^3) = 3z^2
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
partial Rpartial x = partialpartial x(3xz^2) = 3z^2
partial Qpartial x = partialpartial x(x^2) = 2x
partial Ppartial y = partialpartial y(2xy + z^3) = 2x

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão do rotacional:
nabla times F = (0 - 0)imath + (3z^2 - 3z^2)jmath + (2x - 2x)k = 0,imath + 0,jmath + 0,k = 0

Resposta

Como o rotacional de é zero, podemos concluir que é um campo de força conservativo.

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