Mostre que
é um campo de força conservativa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente quer mostrar que o campo de força
é conservativo. Isso pertence à matéria de Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre campos conservativos. Para resolver, vamos precisar entender o que torna um campo conservativo e usar o conceito de rotacional (ou “curl”) para verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo de força é conservativo se existir uma função potencial
tal que
. Mas, uma maneira mais simples de verificar se um campo é conservativo é calcular o rotacional dele. Se o rotacional for zero em todo o espaço, então o campo é conservativo.
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Passo 4
Vamos identificar
,
e
do nosso campo:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão do rotacional:
Resposta
Como o rotacional de
é zero, podemos concluir que
é um campo de força conservativo.
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