Verifique o teorema da divergência de A=4 x imath-2 y^2 j+z^2 k tomado sobre uma região de contorno x^2+y^2=4, z=0 e z=3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar o Teorema da Divergência para o campo vetorial A = 4x,imath - 2y^2,jmath + z^2,k, considerando a região delimitada pelo cilindro x^2 + y^2 = 4, entre as alturas z=0 e z=3. O Teorema da Divergência relaciona a integral de volume da divergência de um campo vetorial com a integral de superfície desse campo através da fronteira do volume. Para resolver isso, vamos precisar calcular a divergência de A, fazer a integral de volume da divergência e também calcular a integral de superfície de A.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência, denotada por nabla cdot A, mede a taxa de “fluxo” que sai de um ponto. Para um campo A = P,imath + Q,jmath + R,k, a divergência é dada por:
nabla cdot A = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
Vamos calcular isso para o nosso A.

Passo 3

Vamos identificar as componentes de A:
P = 4x, Q = -2y^2, R = z^2
Agora, calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial x = partial (4x)partial x = 4
partial Qpartial y = partial (-2y^2)partial y = -4y
partial Rpartial z = partial (z^2)partial z = 2z
Então, a divergência será:
nabla cdot A = 4 - 4y + 2z

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência sobre a região delimitada. Como a região é um cilindro circular de raio 2 e altura de z=0 a z=3, é conveniente usar coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos. Em coordenadas cilíndricas, temos:
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z
E o elemento de volume é:
dV = r,dr,dtheta,dz
Substituindo a divergência na integral, temos:
integral triplaV (4 - 4y + 2z) , dV = integral0^2pi integral0^2 integral0^3 (4 - 4rsintheta + 2z) r,dz,dr,dtheta
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Vamos separar a integral em três partes:
integral triplaV 4r,dz,dr,dtheta - integral triplaV 4r^2sintheta,dz,dr,dtheta + integral triplaV 2zr,dz,dr,dtheta
Calculando cada uma:
  1. Primeira parte:
integral0^2pi integral0^2 integral0^3 4r,dz,dr,dtheta = 4 integral0^2pi dtheta integral0^2 r,dr integral0^3 dz = 4 cdot 2pi cdot [r^22]0^2 cdot 3 = 4 cdot 2pi cdot 2 cdot 3 = 48pi
  1. Segunda parte:
-4 integral0^2pi integral0^2 integral0^3 r^2sintheta,dz,dr,dtheta = -4 integral0^2pi sintheta,dtheta integral0^2 r^2,dr integral0^3 dz
Sabemos que integral0^2pi sintheta,dtheta = 0, então essa parte é zero.
  1. Terceira parte:
2 integral0^2pi integral0^2 integral0^3 z r,dz,dr,dtheta = 2 integral0^2pi dtheta integral0^2 r,dr integral0^3 z,dz = 2 cdot 2pi cdot [r^22]0^2 cdot [z^22]0^3 = 2 cdot 2pi cdot 2 cdot 92 = 36pi
Somando as três partes:
48pi + 0 + 36pi = 84pi

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de superfície de A sobre a fronteira da região. A fronteira é composta por três partes: a base inferior ( z=0), a base superior ( z=3) e a lateral do cilindro ( x^2 + y^2 = 4). Vamos calcular a integral em cada uma dessas superfícies.
  1. Base inferior ( z=0):
    • O vetor normal é para baixo, k = -k.
    • A = 4x,imath - 2y^2,jmath + 0,k.
    • O fluxo é: integral duplaz=0 A cdot (-k),dS = 0
  2. Base superior ( z=3):
    • O vetor normal é para cima, k.
    • A = 4x,imath - 2y^2,jmath + 9,k.
    • O fluxo é: integral duplaz=3 A cdot k,dS = integral duplaz=3 9,dS = 9 cdot Área da base = 9 cdot pi (2)^2 = 36pi Á
  3. Lateral do cilindro ( x^2 + y^2 = 4):
    • O vetor normal na lateral é radial, n = costheta,imath + sintheta,jmath.
    • Em coordenadas cilíndricas, x = 2costheta, y = 2sintheta.
    • A = 8costheta,imath - 8sin^2theta,jmath + z^2,k.
    • O fluxo é: integral duplalateral A cdot n,dS = integral0^2pi integral0^3 (8costheta cdot costheta - 8sin^2theta cdot sintheta) cdot 2,dz,dtheta Simplificando: 2 integral0^2pi integral0^3 (8cos^2theta - 8sin^3theta) dz,dtheta = 2 cdot 3 integral0^2pi (8cos^2theta - 8sin^3theta) dtheta = 6 cdot (8 cdot pi - 0) = 48pi (Sabemos que a integral de sin^3theta de 0 a 2pi é zero.)
Somando os fluxos das três partes:
0 + 36pi + 48pi = 84pi

Resposta

Viu só? Tanto a integral de volume da divergência quanto a integral de superfície do campo vetorial resultaram em 84pi. Isso confirma que o Teorema da Divergência está válido para o campo A na região especificada.

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