Verifique o teorema da divergência de
tomado sobre uma região de contorno
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar o Teorema da Divergência para o campo vetorial
, considerando a região delimitada pelo cilindro
, entre as alturas
e
. O Teorema da Divergência relaciona a integral de volume da divergência de um campo vetorial com a integral de superfície desse campo através da fronteira do volume. Para resolver isso, vamos precisar calcular a divergência de
, fazer a integral de volume da divergência e também calcular a integral de superfície de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência, denotada por
, mede a taxa de “fluxo” que sai de um ponto. Para um campo
, a divergência é dada por:
Vamos calcular isso para o nosso
.
Passo 3
Vamos identificar as componentes de
:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Então, a divergência será:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência sobre a região delimitada. Como a região é um cilindro circular de raio 2 e altura de
a
, é conveniente usar coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos. Em coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume é:
Substituindo a divergência na integral, temos:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Vamos separar a integral em três partes:
Calculando cada uma:
- Primeira parte:
- Segunda parte:
Sabemos que
, então essa parte é zero.
- Terceira parte:
Somando as três partes:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de superfície de
sobre a fronteira da região. A fronteira é composta por três partes: a base inferior (
), a base superior (
) e a lateral do cilindro (
). Vamos calcular a integral em cada uma dessas superfícies.
-
Base inferior (
): - O vetor normal é para baixo,
. -
. - O fluxo é:
- O vetor normal é para baixo,
-
Base superior (
): - O vetor normal é para cima,
. -
. - O fluxo é:
- O vetor normal é para cima,
-
Lateral do cilindro (
): - O vetor normal na lateral é radial,
. - Em coordenadas cilíndricas,
, . -
. - O fluxo é:
Simplificando: (Sabemos que a integral de de 0 a é zero.)
- O vetor normal na lateral é radial,
Somando os fluxos das três partes:
Resposta
Viu só? Tanto a integral de volume da divergência quanto a integral de superfície do campo vetorial resultaram em
. Isso confirma que o Teorema da Divergência está válido para o campo
na região especificada.