Um menino faz girar acima de sua cabeça uma pedra amarrada na ponta de um barbante, segurando na outra extremidade do mesmo. Considere que o plano do círculo formado pela trajetória da pedra seja horizontal e que o ângulo formado entre o barbante e o plano da trajetória seja igual a theta. Sabendo-se que a massa da pedra é m e que o raio da órbita é r, determine o módulo da força centrípeta Fc responsável pelo movimento circular.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um menino girando uma pedra amarrada a um barbante, formando um círculo horizontal. A pedra tem massa m, o raio da trajetória é r, e o ângulo entre o barbante e o plano é theta. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a força centrípeta Fc que mantém a pedra fazendo esse movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nas forças que estão atuando na pedra enquanto ela se move. Temos duas forças principais:
  1. A força da gravidade ( Fg): Ela puxa a pedra para baixo e é calculada por Fg = m cdot g, onde g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,8 , m/s²²).
  2. A tensão no barbante ( T): Essa força está no sentido do barbante e tem que equilibrar a força da gravidade e também fornecer a força centrípeta necessária para o movimento circular.

Passo 3

Vamos decompor a tensão no barbante em duas componentes:
  • Componente vertical ( Ty): Que equilibra a força da gravidade.
  • Componente horizontal ( Tx): Que fornece a força centrípeta.
Essas componentes est��o relacionadas com o ângulo theta da seguinte maneira:
Ty = T cdot cos(theta)
Tx = T cdot sin(theta)

Passo 4

Vamos começar equilibrando as forças na direção vertical. Como a pedra não está se movendo para cima ou para baixo, a soma das forças verticais deve ser zero:
Ty = Fg
T cdot cos(theta) = m cdot g
Dessa equação, podemos resolver para a tensão T:
T = m cdot gcos(theta)

Passo 5

Agora, vamos olhar para a direção horizontal. A componente horizontal da tensão é o que fornece a força centrípeta necessária para manter a pedra em movimento circular:
Fc = Tx = T cdot sin(theta)
Substituindo o valor de T que encontramos:
Fc = ( m cdot gcos(theta) ) cdot sin(theta)

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão usando a relação trigonométrica sin(theta)cos(theta) = tan(theta):
Fc = m cdot g cdot tan(theta)

Resposta

A força centrípeta responsável pelo movimento circular é:
Fc = m cdot g cdot tan(theta)

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