Uma partícula segue uma trajetória dada em função do tempo pelo vetor posição r=2 t i+3 t^2 j (SI). Uma das forças que atuam sobre a partícula é dada por: F=2 i+1,5 j. a) Determine a potência instantânea; b) Determine o trabalho realizado por esta força no intervalo de tempo de t=0 até t=2 s.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado nos dá a posição de uma partícula em função do tempo, , e uma força que atua sobre ela, . Vamos precisar usar conceitos de cinemática e trabalho e potência da Física para resolver as partes a) e b) da questão.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a potência instantânea, precisamos saber a velocidade da partícula em qualquer instante de tempo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Dada a posição:
r(t) = 2 t i + 3 t^2 j
Vamos derivar cada componente em relação ao tempo v(t) = drdt = ddt(2 t) i + ddt(3 t^2) j = 2 i + 6 t j :

Passo 3

A potência instantânea P(t) = F cdot v(t) é dada pelo produto escalar da força F = 2 i + 1,5 j pela velocidade v(t) = 2 i + 6 t j :
P(t) = (2)(2) + (1,5)(6 t) = 4 + 9 t
Vamos calcular esse produto:

Passo 4

Agora, para a parte b), precisamos calcular o trabalho realizado pela força no intervalo de tempo de W = integral0^2 P(t) , dt até W = integral0^2 (4 + 9 t) , dt segundos.
O trabalho é a integral da potência em relação ao tempo:
Substituindo :

Passo 5

Vamos resolver a integral:
W = integral0^2 4 , dt + integral0^2 9 t , dt
W = 4t gr|0^2 + 92 t^2 gr|0^2
W = 4(2) - 4(0) + 92(4) - 92(0)
W = 8 + 18 = 26 , J

Resposta

a) A potência instantânea é watts.
b) O trabalho realizado pela força no intervalo de até segundos é 26 J.

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