A menor distância entre o ponto
e a parábola
é dada por
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos encontrar a menor distância entre o ponto
e a parábola definida pela equação
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a distância entre um ponto genérico na parábola e o ponto dado
. Seja
um ponto na parábola, então
. A fórmula da distância entre
e
é:
Passo 3
Para facilitar, vamos minimizar o quadrado da distância, já que a função raiz é crescente. Assim, queremos minimizar:
Vamos expandir e simplificar essa expressão:
Passo 4
Para encontrar o mínimo, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Fatorando a derivada:
Isso nos dá as soluções
ou
.
Passo 5
Vamos verificar qual dessas soluções nos dá o mínimo. Calculando
para
:
Para
:
Portanto, a menor distância é
.
Resposta
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Seja
. Então
Seja
. Então
0
0
Seja
. Logo
0
2
0
2
Dada
, determine: os intervalos onde o sinal de
é positivo e onde é negativo.