A menor distância entre o ponto e a parábola é dada por




Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos encontrar a menor distância entre o ponto e a parábola definida pela equação . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a distância entre um ponto genérico na parábola e o ponto dado . Seja um ponto na parábola, então . A fórmula da distância entre e é:

Passo 3

Para facilitar, vamos minimizar o quadrado da distância, já que a função raiz é crescente. Assim, queremos minimizar:
Vamos expandir e simplificar essa expressão:

Passo 4

Para encontrar o mínimo, vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Fatorando a derivada:
Isso nos dá as soluções ou .

Passo 5

Vamos verificar qual dessas soluções nos dá o mínimo. Calculando para :
Para :
Portanto, a menor distância é .

Resposta

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Seja . Então



Seja . Então
0


Seja . Logo


0


2
Dada , determine: os intervalos onde o sinal de é positivo e onde é negativo.