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Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a segunda derivada dessa função no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação, especificamente a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Vamos começar encontrando a primeira derivada . A função é uma função composta, onde a parte interna é e a parte externa é a função exponencial . Para derivar isso, usamos a regra da cadeia.
A derivada de em relação a é . Então, temos:

Passo 3

Agora, precisamos derivar . Usando a regra da cadeia novamente, onde , a derivada de é :

Passo 4

Substituindo essa derivada de volta na expressão de , temos:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Precisamos derivar :
Aqui, usaremos a regra do produto, pois temos duas funções multiplicando: e .

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
Já sabemos que do Passo 2, então substituindo:

Passo 7

Agora, vamos derivar :
Simplificando:

Passo 8

Voltando à expressão de :
Simplificando o primeiro termo:
Então:

Passo 9

Agora, vamos substituir :
Sabemos que:
Substituindo na expressão:
Simplificando:

Resposta

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A menor distância entre o ponto e a parábola é dada por




Seja . Então



Dada , determine: os intervalos onde o sinal de é positivo e onde é negativo.
(2 pontos) Ache dois númeror positivos, cuja soma é 300 e tais que o produto deles seja máximo.