Seja
. Logo
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar a segunda derivada dessa função no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação, especificamente a regra da cadeia e a regra do produto.
Passo 2
Vamos começar encontrando a primeira derivada
. A função
é uma função composta, onde a parte interna é
e a parte externa é a função exponencial
. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia.
A derivada de
em relação a
é
. Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos derivar
. Usando a regra da cadeia novamente, onde
, a derivada de
é
:
Passo 4
Substituindo essa derivada de volta na expressão de
, temos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Precisamos derivar
:
Aqui, usaremos a regra do produto, pois temos duas funções multiplicando:
e
.
Passo 6
Aplicando a regra do produto:
Já sabemos que
do Passo 2, então substituindo:
Passo 7
Agora, vamos derivar
:
Simplificando:
Passo 8
Voltando à expressão de
:
Simplificando o primeiro termo:
Então:
Passo 9
Agora, vamos substituir
:
Sabemos que:
Substituindo na expressão:
Simplificando:
Resposta
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A menor distância entre o ponto
e a parábola
é dada por
Seja
. Então
Dada
, determine: os intervalos onde o sinal de
é positivo e onde é negativo.
(2 pontos) Ache dois númeror positivos, cuja soma é 300 e tais que o produto deles seja máximo.