Seja
. Então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada de
no ponto
. Vamos usar cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia para derivadas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar
. Assim, nossa função fica
. Para encontrar
, usamos a derivada da função arco-tangente:
Passo 3
Agora, precisamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
na expressão da derivada de
:
Passo 5
Vamos simplificar o denominador:
Então,
Passo 6
Agora, substituímos tudo de volta na expressão da derivada:
Passo 7
Vamos calcular
. Primeiro, substituímos
:
Então,
E o denominador fica:
Passo 8
Agora, substituímos na expressão da derivada:
Passo 9
Simplificando a fração:
Resposta
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Seja
. Então
0
0
Seja
. Logo
0
0
A menor distância entre o ponto
e a parábola
é dada por
Seja
. Logo
0
2
0
2