Se D=(x, y, z) in R^3 / 0 <= x <= raiz4-y^2, 0 <= y <= 2,0 <= z <= raiz4-x^2-y^2, então
integral triplaD z raizx^2+y^2+z^2 d x d y d z
vale
a) 4 pi / 5.
b) 3 pi / 5.
c) 7 pi / 5.
d) 6 pi / 5.
e) 8 pi / 5

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um domínio integral triplaD z raizx^2+y^2+z^2 , dx , dy , dz definido por algumas restrições nas coordenadas , e no espaço tridimensional. Nosso objetivo é calcular a integral tripla:
Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas, já que a expressão sugere simetria radial. Também vamos precisar entender como transformar a integral para esse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, cada ponto é descrito por três parâmetros: x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi (a distância do ponto até a origem), dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta (o ângulo no plano ), e (o ângulo em relação ao eixo ). As relações de transformação são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Agora, vamos analisar o domínio 0 <= x <= raiz4 - y^2, 0 <= y <= 2, 0 <= z <= raiz4 - x^2 - y^2 . As restrições são:
Essas desigualdades indicam que está dentro da esfera de raio 2 centrada na origem, já que .

Passo 4

Vamos converter essas restrições para coordenadas esféricas. Sabemos que 0 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi2, 0 <= phi <= pi2 varia de 0 a 2 (raio da esfera). Como e são positivos, o ângulo vai de 0 a (primeiro quadrante). O ângulo varia de 0 a também, já que é positivo.
Então, os limites são:

Passo 5

Vamos reescrever a integral tripla em coordenadas esféricas. A função a integrar é z = rho cosphi e raizx^2+y^2+z^2 = rho . Em esféricas, temos:
z raizx^2+y^2+z^2 = rho cosphi cdot rho = rho^2 cosphi
Então, a função fica:
integral triplaD rho^2 cosphi cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
E a integral fica:
integral triplaD rho^4 cosphi sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos separar a integral em três partes, já que as variáveis são independentes:
integral0^2 rho^4 , drho cdot integral0^pi2 cosphi sinphi , dphi cdot integral0^pi2 dtheta
Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 7

Primeira integral: integral0^2 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^2 = 2^55 - 0 = 325
Integrando:

Passo 8

Segunda integral: integral cosphi sinphi , dphi = integral u , du = u^22 + C = sin^2phi2 + C
Vamos usar substituição. Seja sin^2(pi2)2 - sin^2(0)2 = 12 - 0 = 12 , então .
Então:
Avaliado de 0 a :

Passo 9

Terceira integral: integral0^pi2 dtheta = pi2 - 0 = pi2
Isso é simples:

Passo 10

Agora, vamos multiplicar os resultados das três integrais:
325 cdot 12 cdot pi2 = 325 cdot pi4 = 32 pi20 = 8 pi5

Resposta

A integral tripla vale .

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Use o teste da comparação para determinar se a série é convergente ou divergente: sumn=1^infty 2^n+1n 2^n-1
Sendo C o arco da circunferência de equação x^2+y^2=3, contido no primeiro quadrante e percorrido do ponto (0, raiz3) ao ponto (raiz3, 0), então
integralC(3 x^2+6 x y-2 y^2) d x+(3 x^2-4 x y) d y
vale
a) 0 .
b) raiz5.
c) 2 raiz2.
d) 3 raiz3.
e) 1 .