Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um domínio definido por algumas restrições nas coordenadas , e no espaço tridimensional. Nosso objetivo é calcular a integral tripla:
Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas, já que a expressão sugere simetria radial. Também vamos precisar entender como transformar a integral para esse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, cada ponto é descrito por três parâmetros: (a distância do ponto até a origem), (o ângulo no plano ), e (o ângulo em relação ao eixo ). As relações de transformação são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Agora, vamos analisar o domínio 0 <= x <= raiz4 - y^2, 0 <= y <= 2, 0 <= z <= raiz4 - x^2 - y^2 . As restrições são:
Essas desigualdades indicam que está dentro da esfera de raio 2 centrada na origem, já que .
Passo 4
Vamos converter essas restrições para coordenadas esféricas. Sabemos que 0 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi2, 0 <= phi <= pi2 varia de 0 a 2 (raio da esfera). Como e são positivos, o ângulo vai de 0 a (primeiro quadrante). O ângulo varia de 0 a também, já que é positivo.
Então, os limites são:
Passo 5
Vamos reescrever a integral tripla em coordenadas esféricas. A função a integrar é z = rho cosphi e raizx^2+y^2+z^2 = rho . Em esféricas, temos:
z raizx^2+y^2+z^2 = rho cosphi cdot rho = rho^2 cosphi