Use o teste da comparação para determinar se a série é convergente ou divergente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente usar o teste da comparação para descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender como o teste da comparação funciona e escolher uma série que seja fácil de comparar com a nossa.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na nossa série:
. Quando
fica bem grande, os termos
e
vão dominar os outros termos na expressão. Então, podemos simplificar a expressão para ter uma ideia do comportamento da série.
Passo 3
Vamos simplificar o termo geral da série:
Isso significa que, para valores grandes de
, o termo da nossa série se comporta como
, que é o termo do série harmônica.
Passo 4
Agora, sabemos que a série harmônica
diverge. Ou seja, ela não soma para um número finito. O próximo passo é usar isso para comparar com a nossa série original.
Passo 5
Para aplicar o teste da comparação, precisamos mostrar que os termos da nossa série são maiores ou iguais aos termos da série harmônica a partir de algum número
. Vamos analisar:
Isso é verdade porque
e
, então a fração maior é igual ou maior que
.
Passo 6
Como mostramos que:
e sabemos que
diverge, pelo teste da comparação, a nossa série original
também diverge.
Resposta
A série
diverge pelo teste da comparação.