Use o teste da comparação para determinar se a série é convergente ou divergente: sumn=1^infty 2^n+1n 2^n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente usar o teste da comparação para descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender como o teste da comparação funciona e escolher uma série que seja fácil de comparar com a nossa.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na nossa série: . Quando fica bem grande, os termos e vão dominar os outros termos na expressão. Então, podemos simplificar a expressão para ter uma ideia do comportamento da série.

Passo 3

Vamos simplificar o termo geral da série:
2^n+1n cdot 2^n-1 approx 2^nn cdot 2^n = 1n
Isso significa que, para valores grandes de , o termo da nossa série se comporta como , que é o termo do série harmônica.

Passo 4

Agora, sabemos que a série harmônica diverge. Ou seja, ela não soma para um número finito. O próximo passo é usar isso para comparar com a nossa série original.

Passo 5

Para aplicar o teste da comparação, precisamos mostrar que os termos da nossa série são maiores ou iguais aos termos da série harmônica a partir de algum número 2^n+1n cdot 2^n-1 >= 2^nn cdot 2^n = 1n . Vamos analisar:
Isso é verdade porque e , então a fração maior é igual ou maior que .

Passo 6

Como mostramos que:
2^n+1n cdot 2^n-1 >= 1n
e sabemos que diverge, pelo teste da comparação, a nossa série original também diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da comparação.

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Se D=(x, y, z) in R^3 / 0 <= x <= raiz4-y^2, 0 <= y <= 2,0 <= z <= raiz4-x^2-y^2, então
integral triplaD z raizx^2+y^2+z^2 d x d y d z
vale
a) 4 pi / 5.
b) 3 pi / 5.
c) 7 pi / 5.
d) 6 pi / 5.
e) 8 pi / 5
Use o Teste da Série Alternada para testar as séries: sumn=1^infty (-1)^n-1ln (n+4)
Sendo C o arco da circunferência de equação x^2+y^2=3, contido no primeiro quadrante e percorrido do ponto (0, raiz3) ao ponto (raiz3, 0), então
integralC(3 x^2+6 x y-2 y^2) d x+(3 x^2-4 x y) d y
vale
a) 0 .
b) raiz5.
c) 2 raiz2.
d) 3 raiz3.
e) 1 .
Use o teste da comparação do limite para determinar se a série converge ou diverge: sumn=1^infty raizn+22 n^2+n+1