Use o teste da comparação para determinar se a série é convergente ou divergente: sumn=1^infty 2^n+1n 2^n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente usar o teste da comparação para descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender como o teste da comparação funciona e escolher uma série que seja fácil de comparar com a nossa.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na nossa série: . Quando fica bem grande, os termos e vão dominar os outros termos na expressão. Então, podemos simplificar a expressão para ter uma ideia do comportamento da série.

Passo 3

Vamos simplificar o termo geral da série:
2^n+1n cdot 2^n-1 approx 2^nn cdot 2^n = 1n
Isso significa que, para valores grandes de , o termo da nossa série se comporta como , que é o termo do série harmônica.

Passo 4

Agora, sabemos que a série harmônica diverge. Ou seja, ela não soma para um número finito. O próximo passo é usar isso para comparar com a nossa série original.

Passo 5

Para aplicar o teste da comparação, precisamos mostrar que os termos da nossa série são maiores ou iguais aos termos da série harmônica a partir de algum número 2^n+1n cdot 2^n-1 >= 2^nn cdot 2^n = 1n . Vamos analisar:
Isso é verdade porque e , então a fração maior é igual ou maior que .

Passo 6

Como mostramos que:
2^n+1n cdot 2^n-1 >= 1n
e sabemos que diverge, pelo teste da comparação, a nossa série original também diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da comparação.

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