Use o teste da comparação do limite para determinar se a série converge ou diverge:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o teste da comparação de limites para descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender como comparar os termos dessa série com outra série que a gente já sabe o comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
. Olhando para
grande, os termos de maior ordem vão dominar, então podemos aproximar:
Então, nossa série se comporta como
.
Passo 3
Agora, vamos escolher uma série para comparar. A série que escolhemos é
, que é uma série p com
.
Sabemos que uma série p
converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, então essa série diverge.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o teste da comparação de limites. Precisamos calcular o limite:
Simplificando dentro do limite:
Então, o limite é
, que é um número finito e positivo.
Passo 5
Como o limite é um número finito e positivo (
), o teste da comparação de limites nos diz que a série original
comporta-se da mesma forma que a série com a qual comparamos, ou seja,
.
Como a série comparada diverge, então a nossa série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Use o teste da comparação para determinar se a série é convergente ou divergente:
Use algum teste apropriado para determinar se a série é convergente ou divergente:
Use o Teste da Série Alternada para testar as séries:
Se
, então
vale
a) .
b) .
c) .
d) .
e)
a)
b)
c)
d)
e)