Use o teste da comparação do limite para determinar se a série converge ou diverge: sumn=1^infty 2 n+1raizn^3+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o teste da comparação de limites para descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender como comparar os termos dessa série com outra série que a gente já sabe o comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: 2n+1raizn^3+1 approx 2nraizn^3 = 2nn^3/2 = 2n^-1/2 = 2raizn . Olhando para grande, os termos de maior ordem vão dominar, então podemos aproximar:
Então, nossa série se comporta como .

Passo 3

Agora, vamos escolher uma série para comparar. A série que escolhemos é , que é uma série p com .
Sabemos que uma série p converge se e diverge se . No nosso caso, , então essa série diverge.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o teste da comparação de limites. Precisamos calcular o limite:
limn to infty 2n+1raizn^3+11raizn = limn to infty (2n+1)raiznraizn^3+1
Simplificando dentro do limite:
(2n+1)raiznraizn^3+1 approx 2n cdot raiznraizn^3 = 2n^3/2n^3/2 = 2
Então, o limite é , que é um número finito e positivo.

Passo 5

Como o limite é um número finito e positivo ( ), o teste da comparação de limites nos diz que a série original comporta-se da mesma forma que a série com a qual comparamos, ou seja, .
Como a série comparada diverge, então a nossa série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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Use o teste da comparação para determinar se a série é convergente ou divergente: sumn=1^infty n sen^2 nn^3+1
Use algum teste apropriado para determinar se a série é convergente ou divergente: sumn=1^infty tan (1n)
Use o Teste da Série Alternada para testar as séries: sumn=1^infty (-1)^n-1ln (n+4)
Se D=(x, y, z) in R^3 / 0 <= x <= raiz4-y^2, 0 <= y <= 2,0 <= z <= raiz4-x^2-y^2, então
integral triplaD z raizx^2+y^2+z^2 d x d y d z
vale
a) 4 pi / 5.
b) 3 pi / 5.
c) 7 pi / 5.
d) 6 pi / 5.
e) 8 pi / 5