Use o Teste da Série Alternada para testar as séries: sumn=1^infty (-1)^n-1ln (n+4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar o Teste da Série Alternada na série . Isso significa que a gente vai verificar se a série alternada converge usando os critérios desse teste. Vamos precisar entender o que é uma série alternada e quais são as condições do teste.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série. Aqui, cada termo da série é . A parte faz a série alternar entre positivo e negativo conforme aumenta.

Passo 3

Agora, vamos separar a série em duas partes: a parte alternada e o termo geral . O Teste da Série Alternada nos diz que se for positivo, decrescente e tendendo a zero quando vai para o infinito, a série vai convergir.

Passo 4

Vamos verificar se é positivo. Como o logaritmo natural é positivo para , então também é positivo.

Passo 5

Agora, precisamos ver se é uma sequência decrescente. Para isso, observamos que, conforme aumenta, também aumenta, então diminui. Portanto, é decrescente.

Passo 6

Por último, vamos verificar se limn to infty 1ln (n+4) = 0 . Calculando o limite:
Porque o logaritmo cresce sem limites quando cresce.

Resposta

Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, a série converge.

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