Use o Teste da Série Alternada para testar as séries:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar o Teste da Série Alternada na série
. Isso significa que a gente vai verificar se a série alternada converge usando os critérios desse teste. Vamos precisar entender o que é uma série alternada e quais são as condições do teste.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da série. Aqui, cada termo da série é
. A parte
faz a série alternar entre positivo e negativo conforme
aumenta.
Passo 3
Agora, vamos separar a série em duas partes: a parte alternada
e o termo geral
. O Teste da Série Alternada nos diz que se
for positivo, decrescente e tendendo a zero quando
vai para o infinito, a série vai convergir.
Passo 4
Vamos verificar se
é positivo. Como o logaritmo natural
é positivo para
, então
também é positivo.
Passo 5
Agora, precisamos ver se
é uma sequência decrescente. Para isso, observamos que, conforme
aumenta,
também aumenta, então
diminui. Portanto,
é decrescente.
Passo 6
Por último, vamos verificar se
. Calculando o limite:
Porque o logaritmo cresce sem limites quando
cresce.
Resposta
Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, a série
converge.
Exercícios relacionados
Use o teste da comparação do limite para determinar se a série converge ou diverge:
Use o teste da comparação para determinar se a série é convergente ou divergente:
Se
, então
vale
a) .
b) .
c) .
d) .
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Use o teste da comparação para determinar se a série é convergente ou divergente: