Utilize as regras de derivação para determinar as derivadas das funçōes:

Passo 1

Então, temos que calcular a derivada da função . Vamos usar as regras de derivação do cálculo, especificamente a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. Precisaremos entender como derivar funções potenciais, trigonométricas e a combinação delas dentro de uma raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Aqui, temos uma função composta: uma raiz quadrada de uma expressão que envolve um polinômio e uma função trigonométrica.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é . No nosso caso, e .

Passo 4

Calculamos a derivada externa:

Passo 5

Agora, vamos derivar . Derivada do polinômio é direta, e para a parte trigonométrica aplicamos a regra da cadeia novamente.

Passo 6

Derivada de é .
Derivada de :

Passo 7

Juntando as derivadas:

Passo 8

Substituímos de volta na expressão da derivada externa:

Passo 9

Simplificamos a expressão:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Utilize a definição para determinar a derivada das funçōes:
Calcule os limites:
Seja uma firma representativa de um mercado de concorrência perfeita que está atuando no equilíbrio de longo prazo. A função custo para essa firma é , onde é a quantidade produzida por essa empresa. Então podemos afirmar que:
a. A quantidade produzida por essa firma é igual a 0,5 .
b. A quantidade produzida por essa firma é igual a 6 .
c. O preço de equilíbrio é .
d. O preço de equilíbrio é .
e. O preço não pode ser determinado sem conhecer a demanda do mercado.
Um mercado possui firmas idênticas cuja função custo é dada por
A demanda de mercado é dada por:
Ache a quantidade produzida pela firma no equilíbrio de longo prazo desse mercado.