mest Poncos) Um bloco de madeira futua em dgua com
de seu volume submerso. O densida objeco futua em óleo com
de seu volume imerso. Determine a relaçao entre at aleo a densidade da agua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um bloco de madeira que flutua em dois líquidos diferentes: água e óleo. Em cada caso, uma parte do volume do bloco fica submersa. Nosso objetivo é descobrir como a densidade do óleo se relaciona com a densidade da água usando essas informações. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre princípios de flutuação e densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o princípio de Arquimedes, que diz que um objeto flutua quando o peso do líquido deslocado é igual ao peso do próprio objeto. Matemáticamente, isso fica assim:
Onde:
-
é a aceleração da gravidade. - A densidade do objeto permanece constante em ambos os líquidos.
Passo 3
Vamos chamar a densidade da água de
e a densidade do óleo de
. Também, seja
o volume total do bloco.
Quando o bloco flutua na água, metade do seu volume está submerso. Aplicando o princípio de Arquimedes:
Podemos expressar o peso do bloco como
, então:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos considerar a situação no óleo. Aqui, apenas
do volume do bloco está submerso. Aplicando novamente o princípio de Arquimedes:
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 5
Podemos cancelar
e
de ambos os lados da equação:
Queremos encontrar a relação entre
e
. Vamos isolar
:
Simplificando:
Resposta
A densidade do óleo está relacionada à densidade da água pela expressão:
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Use the definition in Eq. (2-126) to derive the expression of the
-component of
in spherical coordinates for a vector field
.
Verify the null identities:
a)
b)
by expansion in general orthogonal curvilinear coordinates.
a)
b)
by expansion in general orthogonal curvilinear coordinates.
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