1. (3,Oponcos) (a) Demonstre que a vazão volumétrica de um fluido pode ser escrita como 4 km produto de secalo transversal do tubo e a velocidade do fluido. (b) A água está Ruinclo a uma caxa de 2 m^3 / s (vazalo volumétrica) através de um tubo com diametro de 1 m . So a pressito neste momento é de 80 kPa qual é a pressão da água apos o tubo se etscreviar a um didmetro de 0,5 m ? Para facilitar a conta pode considerar pi=3,0.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre vazão volumétrica e pressão em fluidos. Na parte (a), precisamos demonstrar que a vazão volumétrica ( ) é igual ao produto da área da seção transversal do tubo ( ) pela velocidade do fluido ( ). Na parte (b), usaremos essa relação para encontrar a nova pressão quando o diâmetro do tubo muda. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de área de círculo, velocidade, e a equação de Bernoulli para relacionar pressões e velocidades em diferentes pontos do fluxo.

Passo 2

Parte (a): Vamos demonstrar que Q = A times v .
A vazão volumétrica ( ) representa o volume de fluido que passa por uma seção do tubo por unidade de tempo. A área da seção transversal ( ) é a área do círculo formado pelo tubo, e é a velocidade do fluido.
Sabemos que o volume que passa por uma seção em um segundo é a área multiplicada pela distância que o fluido percorre em um segundo, que é a velocidade.
Então:
Isso mostra que a vazão volumétrica é igual ao produto da área da seção transversal pela velocidade do fluido.

Passo 3

Parte (b): Vamos encontrar a nova pressão após o tubo se estreitar.
Dados:
  • Vazão volumétrica, A1 = pi ( D12 )^2 = 3,0 times ( 12 )^2 = 3,0 times 0,25 = 0,75 , m^2
  • Diâmetro inicial, A2 = pi ( D22 )^2 = 3,0 times ( 0,52 )^2 = 3,0 times (0,25)^2 = 3,0 times 0,0625 = 0,1875 , m^2
  • Pressão inicial,
  • Diâmetro final,
Primeiro, vamos encontrar as áreas das duas seções.
Área da seção inicial ( ):
Área da seção final ( ):

Passo 4

Agora, vamos encontrar as velocidades nas duas seções usando v1 = QA1 = 20,75 approx 2,67 , m/s :
Velocidade na seção inicial ( v2 = QA2 = 20,1875 approx 10,67 , m/s ):
Velocidade na seção final ( ):

Passo 5

Para relacionar as pressões e velocidades, usamos a equação de Bernoulli, que para um fluxo incompressível e sem perdas, é:
P1 + 12 rho v1^2 = P2 + 12 rho v2^2
Assumindo que a densidade da água ( P2 = P1 + 12 rho (v1^2 - v2^2) ) é aproximadamente .
Rearranjando para encontrar :

Passo 6

Substituindo os valores:
P2 = 80 times 10^3 , Pa + 12 times 1000 times (2,67^2 - 10,67^2)
Calculando os termos:
2,67^2 = 7,13 e 10,67^2 = 113,78
Então:
P2 = 80 times 10^3 + 500 times (7,13 - 113,78) = 80 times 10^3 + 500 times (-106,65)
P2 = 80 times 10^3 - 53.325 = 80.000 - 53.325 = 26.675 , Pa
Convertendo para kPa:
P2 = 26,675 , kPa

Resposta

A pressão da água após o tubo se estreitar a um diâmetro de é aproximadamente .

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