Use the definition in Eq. (2-126) to derive the expression of the -component of in spherical coordinates for a vector field .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial definido em coordenadas esféricas como . A tarefa é encontrar a componente do rotacional de , ou seja, , usando a definição do rotacional dada na equação (2-126). Para isso, vamos precisar saber a definição do rotacional em coordenadas esféricas e entender como aplicar derivadas parciais nesse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição geral do rotacional de um campo vetorial em coordenadas cilíndricas, mas adaptada para coordenadas esféricas. A definição do rotacional em qualquer sistema de coordenadas é dada pela seguinte expressão determinantial:
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções radiais, polar e azimutal, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante para encontrar cada componente do rotacional. Estamos interessados na componente , que corresponde à primeira linha e primeira coluna do determinante. Para isso, expandimos o determinante:
Aqui, usamos as propriedades das derivadas parciais em coordenadas esféricas e consideramos que os vetores unitários dependem dos ângulos e .
Passo 4
Vamos detalhar cada termo dessa expressão:
: Isso significa que primeiro multiplicamos por e depois derivamos em relação a .
: Aqui, derivamos em relação ao ângulo .
Substituindo esses termos na expressão do rotacional, temos:
Resposta
Portanto, a componente do rotacional de em coordenadas esféricas é dada por: