Use the definition in Eq. (2-126) to derive the expression of the -component of in spherical coordinates for a vector field .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial definido em coordenadas esféricas como . A tarefa é encontrar a componente do rotacional de , ou seja, , usando a definição do rotacional dada na equação (2-126). Para isso, vamos precisar saber a definição do rotacional em coordenadas esféricas e entender como aplicar derivadas parciais nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição geral do rotacional de um campo vetorial em coordenadas cilíndricas, mas adaptada para coordenadas esféricas. A definição do rotacional em qualquer sistema de coordenadas é dada pela seguinte expressão determinantial:
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções radiais, polar e azimutal, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante para encontrar cada componente do rotacional. Estamos interessados na componente , que corresponde à primeira linha e primeira coluna do determinante. Para isso, expandimos o determinante:
Aqui, usamos as propriedades das derivadas parciais em coordenadas esféricas e consideramos que os vetores unitários dependem dos ângulos e .

Passo 4

Vamos detalhar cada termo dessa expressão:
  1. : Isso significa que primeiro multiplicamos por e depois derivamos em relação a .
  2. : Aqui, derivamos em relação ao ângulo .
Substituindo esses termos na expressão do rotacional, temos:

Resposta

Portanto, a componente do rotacional de em coordenadas esféricas é dada por:

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Verify the null identities:
a)
b)
by expansion in general orthogonal curvilinear coordinates.
Use the definition in Eq. (2-98) to derive the expression of for a vector field in cylindrical coordinates.
mest Poncos) Um bloco de madeira futua em dgua com de seu volume submerso. O densida objeco futua em óleo com de seu volume imerso. Determine a relaçao entre at aleo a densidade da agua.
  1. (3,Oponcos) (a) Demonstre que a vazão volumétrica de um fluido pode ser escrita como 4 km produto de secalo transversal do tubo e a velocidade do fluido. (b) A água está Ruinclo a uma caxa de (vazalo volumétrica) através de um tubo com diametro de 1 m . So a pressito neste momento é de 80 kPa qual é a pressão da água apos o tubo se etscreviar a um didmetro de ? Para facilitar a conta pode considerar .