Use the definition in Eq. (2-126) to derive the expression of the aR-component of nabla times A in spherical coordinates for a vector field A=aR AR+atheta Atheta+aphi Aphi.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial definido em coordenadas esféricas como . A tarefa é encontrar a componente do rotacional de , ou seja, , usando a definição do rotacional dada na equação (2-126). Para isso, vamos precisar saber a definição do rotacional em coordenadas esféricas e entender como aplicar derivadas parciais nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição geral do rotacional de um campo vetorial nabla times A = aR & atheta & aphi partialpartial R & 1R partialpartial theta & 1R sin theta partialpartial phi AR & Atheta & Aphi em coordenadas cilíndricas, mas adaptada para coordenadas esféricas. A definição do rotacional em qualquer sistema de coordenadas é dada pela seguinte expressão determinantial:
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções radiais, polar e azimutal, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante para encontrar cada componente do rotacional. Estamos interessados na componente (nabla times A)R = 1R sin theta ( partial (Aphi sin theta)partial theta - partial Athetapartial phi ) , que corresponde à primeira linha e primeira coluna do determinante. Para isso, expandimos o determinante:
Aqui, usamos as propriedades das derivadas parciais em coordenadas esféricas e consideramos que os vetores unitários dependem dos ângulos e .

Passo 4

Vamos detalhar cada termo dessa expressão:
  1. (nabla times A)R = 1R sin theta ( partial (Aphi sin theta)partial theta - partial Athetapartial phi ) : Isso significa que primeiro multiplicamos por e depois derivamos em relação a .
  2. : Aqui, derivamos em relação ao ângulo .
Substituindo esses termos na expressão do rotacional, temos:

Resposta

Portanto, a componente (nabla times A)R = 1R sin theta ( partial (Aphi sin theta)partial theta - partial Athetapartial phi ) do rotacional de em coordenadas esféricas é dada por:

Exercícios relacionados