Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(h) f(x) = { (x-1)/(1-x^3) se x ≠ 1, a se x = 1 }

Passo 1

Beleza, vamos verificar se a função é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e calcular o limite da função quando se aproxima de 1. Vamos usar conceitos de limites e álgebra para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
  1. está definido.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, . Vamos verificar cada um desses pontos.

Passo 3

Primeiro, vamos ver se está definido. Pela definição da função:
Então, está definido e é igual a .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1. Para , a função é:
Vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 5

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Sabemos que:
Então, a função fica:

Passo 6

Perceba que . Substituindo isso na função:
Agora, a função está simplificada para:

Passo 7

Vamos calcular o limite quando se aproxima de 1:
Substituindo :

Passo 8

Agora, para a função ser contínua em , o limite que calculamos deve ser igual a :

Resposta

O valor de que torna a função contínua no ponto é .

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