Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos verificar se a função
é contínua no ponto
. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e calcular o limite da função quando
se aproxima de 1. Vamos usar conceitos de limites e álgebra para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se:
-
está definido. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso,
. Vamos verificar cada um desses pontos.
Passo 3
Primeiro, vamos ver se
está definido. Pela definição da função:
Então,
está definido e é igual a
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1. Para
, a função é:
Vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.
Passo 5
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Sabemos que:
Então, a função fica:
Passo 6
Perceba que
. Substituindo isso na função:
Agora, a função está simplificada para:
Passo 7
Vamos calcular o limite quando
se aproxima de 1:
Substituindo
:
Passo 8
Agora, para a função ser contínua em
, o limite que calculamos deve ser igual a
:
Resposta
O valor de
que torna a função contínua no ponto
é
.
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Um metereologista estabelece que a temperatura
, num dia de inverno é dada por
, onde o tempo
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o eixo
, com
.
Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(k)
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