Pelo método de Newton-Raphson, determine uma aproximação para da função com aproximação tal que ou . Utilize .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema que pede pra gente usar o Método de Newton-Raphson para encontrar uma aproximação de uma solução para a função dentro do intervalo . A gente vai usar uma tolerância de e começar com .
O que vamos precisar:
Entender como funciona o Método de Newton-Raphson.
Calcular a derivada da função .
Aplicar a fórmula de iteração do método até atingir a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica para encontrar raízes de uma função, ou seja, valores de que fazem . A fórmula de iteração é:
Onde:
é a estimativa atual.
é a próxima estimativa.
é a derivada de .
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada de :
Calculando :
Passo 4
Agora, vamos iniciar as iterações do método. Começamos com .
Iteração 1:
Verificação:
Como saiu do intervalo , precisamos reconsiderar nossa abordagem. Isso indica que o Método de Newton-Raphson pode não estar convergindo corretamente com a estimativa inicial.
Passo 5
Vamos tentar uma abordagem diferente ajustando a estimativa inicial para .
Iteração 1:
Verificação:
Mais uma vez, saiu do intervalo . Parece que o Método de Newton-Raphson está tendo dificuldades para convergir nesse caso específico.
Passo 6
Diante disso, pode ser necessário usar outro método ou ajustar a estimativa inicial para garantir que as próximas iterações permaneçam dentro do intervalo desejado. Alternativamente, podemos verificar se há raízes múltiplas ou se a função realmente cruza o eixo dentro do intervalo.
Resposta
Não foi possível encontrar uma aproximação que satisfaça as condições usando o Método de Newton-Raphson com a estimativa inicial fornecida.