Pelo método de Newton-Raphson, determine uma aproximação para x ∈ (1, 2) da função f(x) = e^(-x^2) - cos(cos(x)) com aproximação ε1 = ε2 = 10^(-4) tal que |f(xn)| < varepsilon1 ou |x_{n+1} - x_{n}| < epsilon_{2}. Utilize x_0 = 1.5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema que pede pra gente usar o Método de Newton-Raphson para encontrar uma aproximação de uma solução para a função dentro do intervalo . A gente vai usar uma tolerância de e começar com .
O que vamos precisar:
  • Entender como funciona o Método de Newton-Raphson.
  • Calcular a derivada da função .
  • Aplicar a fórmula de iteração do método até atingir a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica para encontrar raízes de uma função, ou seja, valores de que fazem . A fórmula de iteração é:
Onde:
  • é a estimativa atual.
  • é a próxima estimativa.
  • é a derivada de .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada de :
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos iniciar as iterações do método. Começamos com .
Iteração 1:
Verificação:
Como saiu do intervalo , precisamos reconsiderar nossa abordagem. Isso indica que o Método de Newton-Raphson pode não estar convergindo corretamente com a estimativa inicial.

Passo 5

Vamos tentar uma abordagem diferente ajustando a estimativa inicial para .
Iteração 1:
Verificação:
Mais uma vez, saiu do intervalo . Parece que o Método de Newton-Raphson está tendo dificuldades para convergir nesse caso específico.

Passo 6

Diante disso, pode ser necessário usar outro método ou ajustar a estimativa inicial para garantir que as próximas iterações permaneçam dentro do intervalo desejado. Alternativamente, podemos verificar se há raízes múltiplas ou se a função realmente cruza o eixo dentro do intervalo.

Resposta

Não foi possível encontrar uma aproximação que satisfaça as condições usando o Método de Newton-Raphson com a estimativa inicial fornecida.

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