Usando o Método de Newton e usando como valor arbitrário inicial
teremos
. É claro que
não converge para
. Como você explicaria o fato que neste caso o método não gera uma seqüência convergente?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está dizendo. A gente está usando o Método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. Começamos com um valor inicial,
, e aplicamos o método várias vezes, mas acabamos alternando entre 1 e -1:
. Isso significa que a sequência não está se aproximando de nenhum número específico, ou seja, não converge. A pergunta é: por que o Método de Newton não está funcionando dessa vez?
Passo 2
Vamos lembrar como o Método de Newton funciona. Ele usa a fórmula:
Isso significa que cada novo valor de
depende da função
e da sua derivada
. O método geralmente funciona bem quando estamos perto da raiz da função e a derivada não é zero.
Passo 3
No nosso caso, a sequência está alternando entre 1 e -1. Isso sugere que, ao aplicar a fórmula do Método de Newton, quando
, o próximo valor
vira -1, e vice-versa. Ou seja, o método está “pulando” de um lado para o outro sem se estabilizar.
Passo 4
Por que isso acontece? Bem, isso pode acontecer se a derivada da função na raiz for zero ou se a função tiver uma curvatura que faz o método pular de um lado para o outro. Basicamente, o ponto inicial que escolhemos (
) pode estar em uma posição onde a tangente à função (usada no método) faz o método se mover para longe da raiz ao invés de se aproximar dela.
Passo 5
Outra possibilidade é que a função tenha uma raiz múltipla ou que o método esteja oscilando entre dois pontos que não são raízes. Isso faz com que a sequência não tenha um único ponto para se aproximar, resultando na alternância entre 1 e -1.
Resposta
Então, o Método de Newton não gera uma sequência convergente nesse caso porque, a partir do valor inicial escolhido (
), as iterações alternam entre 1 e -1, impedindo que a sequência se aproxime de um único ponto. Isso ocorre devido à configuração específica da função e da sua derivada, que fazem o método “pular” de um lado para o outro sem se estabilizar.
Exercícios relacionados
c)
(a) Qual ou quais dos métodos abaixo podem ser usados para determinar os zeros de
?
(i) Bisseç̧ão;
(ii) Newton;
(iii) Secante.
(b) Qual você escolheria para ter a convergência mais rápida?
(i) Bisseç̧ão;
(ii) Newton;
(iii) Secante.
(b) Qual você escolheria para ter a convergência mais rápida?
Esboce o gráfico das funções:
(a)
(a)