Quando milhares de unidades de peças são fabricadas e vendidas, o lucro de uma fábrica é dado por
Qual é o nível de produção que gera o lucro máximo?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa o lucro de uma fábrica em reais, dependendo de quantas milhares de peças são fabricadas e vendidas. A função dada é:
Nosso objetivo é encontrar o nível de produção que faz com que o lucro seja o máximo possível. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, pois a função do lucro é um polinômio de segundo grau.

Passo 2

Sabemos que uma função quadrática tem a forma geral:
onde , e são coeficientes. No nosso caso:
Como o coeficiente é negativo ( ), sabemos que o gráfico da função é uma parábola que se abre para baixo. Isso significa que a função tem um ponto de máximo, que é exatamente o que queremos encontrar.

Passo 3

Para encontrar o valor de que maximiza , usamos a fórmula do vértice da parábola. A coordenada do vértice é dada por:
Vamos substituir os valores de e na fórmula.

Passo 4

Substituindo:
Primeiro, calculamos o denominador:
Agora, substituímos de volta:

Passo 5

Simplificando a fração:
Então,

Resposta

O nível de produção que gera o lucro máximo é de 8,5 mil unidades.

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