Quando
milhares de unidades de peças são fabricadas e vendidas, o lucro de uma fábrica é dado por
Qual é o nível de produção que gera o lucro máximo?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa o lucro de uma fábrica em reais, dependendo de quantas milhares de peças
são fabricadas e vendidas. A função dada é:
Nosso objetivo é encontrar o nível de produção
que faz com que o lucro
seja o máximo possível. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, pois a função do lucro é um polinômio de segundo grau.
Passo 2
Sabemos que uma função quadrática tem a forma geral:
onde
,
e
são coeficientes. No nosso caso:
Como o coeficiente
é negativo (
), sabemos que o gráfico da função é uma parábola que se abre para baixo. Isso significa que a função tem um ponto de máximo, que é exatamente o que queremos encontrar.
Passo 3
Para encontrar o valor de
que maximiza
, usamos a fórmula do vértice da parábola. A coordenada
do vértice é dada por:
Vamos substituir os valores de
e
na fórmula.
Passo 4
Substituindo:
Primeiro, calculamos o denominador:
Agora, substituímos de volta:
Passo 5
Simplificando a fração:
Então,
Resposta
O nível de produção que gera o lucro máximo é de 8,5 mil unidades.
Exercícios relacionados
Use o Teorema da Translação:
em que
, para calcular.
3.3.
3.3.
Encontre a transformada inversa pedida.
1.19. , Sugestão: Examine
1.19.
Use derivadas de transformadas, ou seja,
, nos problemas indicados:
4.4.
4.4.
A altura de um objeto em relação ao solo, após
segundos de ser lançado para cima do topo de um prédio, é dada pela função
(metros).
Qual é a altura do prédio?
Qual é a altura do prédio?