Quando x milhares de unidades de peças são fabricadas e vendidas, o lucro de uma fábrica é dado por
L(x) = -400 x^2 + 6800 x - 12000
Suponha que estão sendo produzidas 9000 peças. Se aumentarmos a produção, o lucro vai aumentar ou diminuir?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: a fábrica tem uma função de lucro , onde representa milhares de peças produzidas e vendidas. Atualmente, estão produzindo 9000 peças (ou seja, ). A questão é: se aumentarmos a produção, o lucro vai aumentar ou diminuir? Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente as derivadas, para entender como o lucro muda conforme aumentamos a produção.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a taxa de variação do lucro em relação à produção. Isso significa que vamos calcular a derivada da função de lucro em relação a . A derivada nos mostra como o lucro está mudando quando a produção aumenta um pouquinho.
A função do lucro é:
Calculando a derivada:

Passo 3

Agora, vamos substituir na derivada para descobrir a taxa de variação do lucro quando estão produzindo 9000 peças.

Passo 4

O resultado da derivada em é . Isso significa que, naquele ponto específico, o lucro está diminuindo a uma taxa de 400 reais por cada aumento de mil peças na produção.

Resposta

Ao aumentar a produção de 9000 peças, o lucro vai diminuir.

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