Uma pesquisa mostra que,
dias após uma epidemia começar,
pessoas estavam infectadas, para
. A que taxa o número de pessoas infectadas estava aumentando no
dia?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos diz que, depois de
dias de uma epidemia, o número de pessoas infectadas é dado por
. Nosso objetivo é descobrir a que taxa esse número estava aumentando exatamente no 9º dia. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente a derivada, que nos mostra a taxa de variação de uma função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa “taxa de aumento” aqui. Basicamente, queremos saber quão rápido o número de infectados está mudando em relação ao tempo no 9º dia. Matemáticamente, isso é representado pela derivada da função
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de cada termo de
. Lembre-se que:
- A derivada de
é . - A derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante vezes a derivada da função.
Então, aplicando isso:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
, que é , é .
Passo 4
Agora, juntando tudo, a derivada completa
é:
Passo 5
Finalmente, precisamos avaliar essa derivada no 9º dia, ou seja, quando
:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Resposta
No 9º dia, o número de pessoas infectadas estava aumentando a uma taxa de aproximadamente
pessoas por dia.