Uma pesquisa mostra que, t dias após uma epidemia começar, N(t) = 10 t^3 + 5 t + raiz(t) pessoas estavam infectadas, para 0 <= t <= 20. A que taxa o número de pessoas infectadas estava aumentando no 9 graus dia?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que, depois de t dias de uma epidemia, o número de pessoas infectadas é dado por . Nosso objetivo é descobrir a que taxa esse número estava aumentando exatamente no 9º dia. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente a derivada, que nos mostra a taxa de variação de uma função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa “taxa de aumento” aqui. Basicamente, queremos saber quão rápido o número de infectados está mudando em relação ao tempo no 9º dia. Matemáticamente, isso é representado pela derivada da função N(t) em relação a t, ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de cada termo de . Lembre-se que:
  • A derivada de t^n é .
  • A derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante vezes a derivada da função.
Então, aplicando isso:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de raiz(t), que é , é .

Passo 4

Agora, juntando tudo, a derivada completa é:

Passo 5

Finalmente, precisamos avaliar essa derivada no 9º dia, ou seja, quando :
Calculando cada parte:
Somando tudo:

Resposta

No 9º dia, o número de pessoas infectadas estava aumentando a uma taxa de aproximadamente pessoas por dia.

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