Uma pesquisa mostra que, dias após uma epidemia começar, pessoas estavam infectadas, para . A que taxa o número de pessoas infectadas estava aumentando no dia?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que, depois de dias de uma epidemia, o número de pessoas infectadas é dado por . Nosso objetivo é descobrir a que taxa esse número estava aumentando exatamente no 9º dia. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente a derivada, que nos mostra a taxa de variação de uma função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa “taxa de aumento” aqui. Basicamente, queremos saber quão rápido o número de infectados está mudando em relação ao tempo no 9º dia. Matemáticamente, isso é representado pela derivada da função em relação a , ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de cada termo de . Lembre-se que:
  • A derivada de é .
  • A derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante vezes a derivada da função.
Então, aplicando isso:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de , que é , é .

Passo 4

Agora, juntando tudo, a derivada completa é:

Passo 5

Finalmente, precisamos avaliar essa derivada no 9º dia, ou seja, quando :
Calculando cada parte:
Somando tudo:

Resposta

No 9º dia, o número de pessoas infectadas estava aumentando a uma taxa de aproximadamente pessoas por dia.

Exercícios relacionados

Quando milhares de unidades de peças são fabricadas e vendidas, o lucro de uma fábrica é dado por
Suponha que estão sendo produzidas 9000 peças. Se aumentarmos a produção, o lucro vai aumentar ou diminuir?
Use derivadas de transformadas, ou seja, , nos problemas indicados:
4.9.
Use as formas inversas dos Teoremas de Translações, para calcular:
5.1.
Use as formas inversas dos Teoremas de Translações, para calcular:
5.6.