(Miscelânea) Identifique o método de integração e resolva as integrais abaixo:
integral d xx^2+4 x+13

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa resolver a integral:
integral dxx^2 + 4x + 13
Para isso, vamos usar o método de completar o quadrado, que é uma técnica importante em cálculo para resolver integrais envolvendo polinômios quadráticos no denominador. Vamos precisar reorganizar o denominador para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o polinômio no denominador: x^2 + 4x . Para completar o quadrado, a gente foca nos termos que envolvem x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4 :
Queremos reescrever isso na forma .
Para completar o quadrado, pegamos a metade do coeficiente de , que é , dividimos por 2, obtendo , e depois elevamos ao quadrado, ficando . Então:

Passo 3

Agora, substituímos isso de volta no denominador original:
x^2 + 4x + 13 = (x + 2)^2 - 4 + 13 = (x + 2)^2 + 9
Então, a integral fica:
integral dx(x + 2)^2 + 9

Passo 4

Reconhecemos que essa integral tem a forma padrão:
integral duu^2 + a^2 = 1a arctan(ua) + C
onde u = x + 2 e a^2 = 9 Rightarrow a = 3 é uma constante. Comparando com a nossa integral, temos:

Passo 5

Aplicando a fórmula, a gente integra:
integral dx(x + 2)^2 + 9 = 13 arctan(x + 23) + C

Resposta

A integral é igual a:
13 arctan(x + 23) + C

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