(Miscelânea) Identifique o método de integração e resolva as integrais abaixo:
integral e^-2 x cdot sen(x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de em relação a . Para resolver essa integral, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Integração por partes é uma técnica baseada na seguinte fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão e . A escolha dessas partes é importante para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos fazer as seguintes escolhas:
u = sen(x) Rightarrow du = cos(x) dx

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral u = cos(x) Rightarrow du = -sen(x) dx . Vamos aplicar novamente o método de integração por partes.
Escolhemos:
dv = e^-2x dx Rightarrow v = -12 e^-2x

Passo 6

Aplicando a fórmula da integração por partes novamente:
Simplificando:

Passo 7

Vamos retornar à equação que tínhamos no Passo 4 e substituir a integral que acabamos de encontrar:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos chamar a integral original de I = integral e^-2x sen(x) dx = -12 e^-2x sen(x) -14 e^-2x cos(x) - 14 I :
Vamos isolar I + 14 I = -12 e^-2x sen(x) -14 e^-2x cos(x) :
Multiplicando ambos os lados por 54 I = -12 e^-2x sen(x) -14 e^-2x cos(x) :

Resposta

A integral é igual a:

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