As seguintes sequências de números são definidas por recorrência. Responda às questões formuladas.
Seja d0=2, d1=5 e, para n > 1, seja d_n = 5 d_{n-1} - 6 d_{n-2}.
Por que damos duas definições-base?
Quais são os cinco primeiros termos da sequência d0, d1, d2, ...?
Prove que dn = 2n + 3n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre sequências definidas por recorrência. Isso significa que cada termo da sequência depende dos termos anteriores. Aqui, temos uma sequência onde , e para , . Para resolver as perguntas, vamos precisar entender o que são definições base, calcular os primeiros termos e provar uma fórmula geral usando propriedades de sequências recorrentes.

Passo 2

Primeiro, vamos responder por que damos duas definições-base. Em uma recorrência de segunda ordem, como essa, cada termo depende dos dois anteriores. Para começar a sequência, precisamos saber os dois primeiros termos. Sem esses dois valores iniciais, não dá para calcular os próximos termos.

Passo 3

Agora, vamos calcular os cinco primeiros termos da sequência .
Já temos:
Para :
Para :
Para :
Então, os cinco primeiros termos são: 2, 5, 13, 35, 97.

Passo 4

Por fim, vamos provar que .
Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para os termos iniciais:
  • Para :
  • Para :
Agora, assumimos que a fórmula funciona para e , ou seja:
Vamos mostrar que ela funciona para :
Substituindo:
Isso mostra que a fórmula é válida para todos os pela indução matemática.

Resposta

  1. Damos duas definições-base porque a recorrência depende dos dois termos anteriores para calcular o próximo.
  2. Os cinco primeiros termos da sequência são: 2, 5, 13, 35, 97.
  3. A fórmula geral da sequência é .

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