As seguintes sequências de números são definidas por recorrência. Responda às questões formuladas.
Seja
e, para
, seja
.
Por que damos duas definições-base?
Quais são os cinco primeiros termos da sequência
?
Prove que
.
Seja
Por que damos duas definições-base?
Quais são os cinco primeiros termos da sequência
Prove que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre sequências definidas por recorrência. Isso significa que cada termo da sequência depende dos termos anteriores. Aqui, temos uma sequência onde
,
e para
,
. Para resolver as perguntas, vamos precisar entender o que são definições base, calcular os primeiros termos e provar uma fórmula geral usando propriedades de sequências recorrentes.
Passo 2
Primeiro, vamos responder por que damos duas definições-base. Em uma recorrência de segunda ordem, como essa, cada termo depende dos dois anteriores. Para começar a sequência, precisamos saber os dois primeiros termos. Sem esses dois valores iniciais, não dá para calcular os próximos termos.
Passo 3
Agora, vamos calcular os cinco primeiros termos da sequência
.
Já temos:
Para
:
Para
:
Para
:
Então, os cinco primeiros termos são: 2, 5, 13, 35, 97.
Passo 4
Por fim, vamos provar que
.
Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para os termos iniciais:
- Para
: - Para
:
Agora, assumimos que a fórmula funciona para
e
, ou seja:
Vamos mostrar que ela funciona para
:
Substituindo:
Isso mostra que a fórmula
é válida para todos os
pela indução matemática.
Resposta
- Damos duas definições-base porque a recorrência depende dos dois termos anteriores para calcular o próximo.
- Os cinco primeiros termos da sequência são: 2, 5, 13, 35, 97.
- A fórmula geral da sequência é
.
Exercícios relacionados
Prove as igualdades a seguir por indução. Em cada caso,
é um inteiro positivo.
.
Utilize uma mudança de variável conveniente para resolver as integrais abaixo:
Água a
(densidade
, viscosidade dinâmica 1,307 x
) escoa em regime permanente em um tubo capilar de
de diâmetro e 15 m de comprimento a uma velocidade média de
. Determine (a) o número de Reynolds, o regime de escoamento e a queda de pressão; (b) a perda de carga e © a potência de bombeamento requisitada para superar a queda de pressão. Identifique as hipóteses simplificadoras. Respostas: (a) 826,1; laminar; 392 kPa ; (b) 40,0 m; © 0,399 W
(Miscelânea) Identifique o método de integração e resolva as integrais abaixo: