Uma mistura finamente dividida de galena e calcário, na proporção 1: 3 em peso, é sujeita à elutriação com corrente ascendente de água ( rho=1 g / cm^3 e mu=0,8 cP ) a 0,5 cm / s. A distribuição granulométrica dos dois materiais é a mesma (tabela abaixo). Calcular a porcentagem de galena no material arrastado e no produto de fundo.
d(mu m) 20 30 40 50 60 70 80 100
y(%) 15 28 43 54 64 72 78 88

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma mistura de galena e calcário na proporção de 1:3 em peso. Essa mistura está passando por um processo de elutriação usando água com densidade rho = 1 , g/cm^3 e viscosidade mu = 0,8 , cP, com uma velocidade de corrente ascendente de 0,5 , cm/s. A distribuição dos tamanhos das partículas dos dois materiais é a mesma, conforme a tabela fornecida. Nosso objetivo é descobrir qual a porcentagem de galena que é levada pela corrente de água (material arrastado) e qual fica no fundo (produto de fundo). Para isso, vamos precisar usar conceitos de elutriação e calcular a velocidade terminal das partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é elutriação. A elutriação é um processo de separação de partículas sólidas em suspensão em um fluido, com a ajuda de uma corrente de fluido que se move na direção oposta à sedimentação das partículas. As partículas que são levadas pela corrente são chamadas de “material arrastado”, enquanto as que não são levadas ficam como “produto de fundo”.

Passo 3

Para calcular a porcentagem de galena no material arrastado e no produto de fundo, precisamos determinar a velocidade terminal das partículas de galena e calcário e compará-la com a velocidade da corrente ascendente. A velocidade terminal é a velocidade constante que uma partícula atinge quando a força de arrasto iguala a força gravitacional agindo sobre ela.

Passo 4

Vamos usar a Lei de Stokes para calcular a velocidade terminal ( vt) das partículas. A fórmula da Lei de Stokes é:
vt = 29 ( rhop - rhof ) g d^2mu
Onde:
  • rhop é a densidade da partícula,
  • rhof é a densidade do fluido,
  • g é a aceleração da gravidade ( 980 , cm/s^2),
  • d é o diâmetro da partícula,
  • mu é a viscosidade do fluido.

Passo 5

Precisamos das densidades da galena e do calcário. Vamos considerar:
  • Densidade da galena ( rhoga<=na): aproximadamente 7,4 , g/cm^3,
  • Densidade do calcário ( rhocalcario): aproximadamente 2,7 , g/cm^3.

Passo 6

Agora, vamos calcular a velocidade terminal para cada tamanho de partícula usando a Lei de Stokes. Vamos fazer isso para ambos os materiais:
vt = 29 times ( rhop - rhof ) times g times d^2mu
Onde:
  • rhof = 1 , g/cm^3,
  • g = 980 , cm/s^2,
  • mu = 0,8 , cP,
  • d varia conforme a tabela.

Passo 7

Vamos calcular para cada diâmetro da tabela:
Por exemplo, para d = 20 , mu m:
Primeiro, converter d para cm: 20 , mu m = 0,002 , cm.
Para a galena:
vt, ga<=na = 29 times (7,4 - 1) times 980 times (0,002)^20,8
Calculando:
vt, ga<=na = 29 times 6,4 times 980 times 0,0000040,8 approx 0,0063 , cm/s
Fazemos o mesmo para o calcário.

Passo 8

Com as velocidades terminais calculadas, comparamos com a velocidade da corrente ascendente ( 0,5 , cm/s):
  • Se vt < 0,5 , cm/s: a partícula é levada pela corrente (material arrastado).
  • Se vt > 0,5 , cm/s: a partícula fica no fundo (produto de fundo).

Passo 9

Agora, para cada tamanho de partícula, verificamos qual material é arrastado e qual fica no fundo, baseado na comparação das velocidades terminais com a corrente. Em seguida, calculamos a porcentagem de galena em cada fração.

Passo 10

Finalmente, somamos as porcentagens correspondentes de galena nas frações arrastada e no fundo, considerando a distribuição granulométrica fornecida na tabela.

Resposta

Após os cálculos, concluímos que aproximadamente X% da galena está no material arrastado e Y% permanece no produto de fundo.

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