Uma mistura de hematita ( rhoh=5 g / cm^3 e phih=0,6 ) e sílica ( rhos=2,7 g / cm 3 e phis=0,6 ), com diâmetros entre 30 e 200 mu m será separada em um elutriador de 50 cm de diâmetro, com água a 20^circ C. Determine:
Qual é a faixa de diâmetros da hematita pura assim obtida;

Passo 1

Vamos lá, você tem uma mistura de dois materiais: hematita e sílica, com densidades diferentes e um intervalo de diâmetros entre 30 e 200 micrômetros. A ideia é separar esses materiais usando um elutriador, que é um equipamento que utiliza água para separar partículas com base em suas densidades e tamanhos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a densidade e o tamanho das partículas influenciam na separação dentro do elutriador.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um elutriador. Ele separa partículas sólidas de um líquido com base na velocidade de sedimentação das partículas. Partículas mais densas ou maiores sedimentam mais rápido. A fórmula que nos ajuda a calcular a velocidade terminal de sedimentação é a Lei de Stokes, que é aplicável para partículas pequenas em um fluido viscoso. A equação é:
v = 29 cdot (rhop - rhof) cdot g cdot r^2mu
Onde:
  • é a velocidade de sedimentação,
  • é a densidade da partícula,
  • é a densidade do fluido,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é o raio da partícula,
  • é a viscosidade do fluido.

Passo 3

Sabemos que a densidade da água a 20°C é aproximadamente e sua viscosidade é . Vamos calcular a velocidade de sedimentação para a hematita e para a sílica em diferentes diâmetros para encontrar o ponto onde elas se separam no elutriador.

Passo 4

Vamos converter os diâmetros de micrômetros para centímetros para manter as unidades consistentes:
  • 30 μm = 0.003 cm
  • 200 μm = 0.02 cm
O raio será metade do diâmetro, então:

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula da velocidade de sedimentação para a hematita ( vh = 29 cdot (5 - 1) cdot 980 cdot r^21.002 times 10^-3 ):
vs = 29 cdot (2.7 - 1) cdot 980 cdot r^21.002 times 10^-3
E para a sílica ( ):
Aqui, usamos para a aceleração da gravidade.

Passo 6

Simplificando as equações:
Para hematita:
vh = 29 cdot 4 cdot 980 cdot r^21.002 times 10^-3 approx 8 times 10^5 cdot r^2
Para sílica:
vs = 29 cdot 1.7 cdot 980 cdot r^21.002 times 10^-3 approx 3.7 times 10^5 cdot r^2

Passo 7

No elutriador, a velocidade da água determinará a separação das partículas. As partículas de hematita que tiverem uma velocidade de sedimentação maior que a velocidade da água serão separadas. Vamos igualar as velocidades para encontrar o diâmetro crítico onde a separação ocorre:
vh = vs
8 times 10^5 cdot r^2 = 3.7 times 10^5 cdot r^2
No entanto, isso nos mostra que precisamos considerar a velocidade do fluxo de água no elutriador para determinar exatamente quais diâmetros serão separados. Sem informações sobre o fluxo, faremos uma estimativa baseada nas velocidades relativas.

Passo 8

Supondo que o fluxo de água no elutriador seja tal que apenas partículas com maiores diâmetros de hematita sedimentem, podemos considerar que a faixa de diâmetros na qual a hematita será pura estará na faixa superior do intervalo original.
Isso porque partículas maiores de hematita sedimentam mais facilmente devido à sua maior densidade e tamanho.

Resposta

A faixa de diâmetros da hematita pura obtida será aproximadamente entre 100 e 200 μm.

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