Uma mistura de hematita (
e
) e sílica (
e
), com diâmetros entre 30 e
será separada em um elutriador de
de diâmetro, com água a
. Determine:
Qual é a faixa de diâmetros da hematita pura assim obtida;
Qual é a faixa de diâmetros da hematita pura assim obtida;
Passo 1
Vamos lá, você tem uma mistura de dois materiais: hematita e sílica, com densidades diferentes e um intervalo de diâmetros entre 30 e 200 micrômetros. A ideia é separar esses materiais usando um elutriador, que é um equipamento que utiliza água para separar partículas com base em suas densidades e tamanhos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a densidade e o tamanho das partículas influenciam na separação dentro do elutriador.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um elutriador. Ele separa partículas sólidas de um líquido com base na velocidade de sedimentação das partículas. Partículas mais densas ou maiores sedimentam mais rápido. A fórmula que nos ajuda a calcular a velocidade terminal de sedimentação é a Lei de Stokes, que é aplicável para partículas pequenas em um fluido viscoso. A equação é:
Onde:
-
é a velocidade de sedimentação, -
é a densidade da partícula, -
é a densidade do fluido, -
é a aceleração da gravidade, -
é o raio da partícula, -
é a viscosidade do fluido.
Passo 3
Sabemos que a densidade da água a 20°C é aproximadamente
e sua viscosidade é
. Vamos calcular a velocidade de sedimentação para a hematita e para a sílica em diferentes diâmetros para encontrar o ponto onde elas se separam no elutriador.
Passo 4
Vamos converter os diâmetros de micrômetros para centímetros para manter as unidades consistentes:
- 30 μm = 0.003 cm
- 200 μm = 0.02 cm
O raio
será metade do diâmetro, então:
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula da velocidade de sedimentação para a hematita (
):
E para a sílica (
):
Aqui, usamos
para a aceleração da gravidade.
Passo 6
Simplificando as equações:
Para hematita:
Para sílica:
Passo 7
No elutriador, a velocidade da água determinará a separação das partículas. As partículas de hematita que tiverem uma velocidade de sedimentação maior que a velocidade da água serão separadas. Vamos igualar as velocidades para encontrar o diâmetro crítico onde a separação ocorre:
No entanto, isso nos mostra que precisamos considerar a velocidade do fluxo de água no elutriador para determinar exatamente quais diâmetros serão separados. Sem informações sobre o fluxo, faremos uma estimativa baseada nas velocidades relativas.
Passo 8
Supondo que o fluxo de água no elutriador seja tal que apenas partículas com maiores diâmetros de hematita sedimentem, podemos considerar que a faixa de diâmetros na qual a hematita será pura estará na faixa superior do intervalo original.
Isso porque partículas maiores de hematita sedimentam mais facilmente devido à sua maior densidade e tamanho.
Resposta
A faixa de diâmetros da hematita pura obtida será aproximadamente entre 100 e 200 μm.